组合计数方法在组合序列中的应用

摘要

组合恒等式(尤其是证明含特殊组合数的恒等式)是组合数学研究的主要内容之一.本文运用Riordan阵理论和发生函数方法得到包含α-Cauchy数、广义Harmonic数的一系列新的组合恒等式，并且利用渐近计数方法讨论了特殊组合和式的渐近性.主要工作可概括如下：
　　 第二章：介绍了α-Cauchy数且利用Riordan阵和发生函数方法得到含α-Cauchy数和其它特殊组合数及多项式(如：广义Stirling数、广义Lah数、广义Bell数、广义Harmonic数、Harmonic多项式、广义Stirling多项式)的部分和式的封闭式；其次应用渐近计数方法，得到包含α-Cauchy数的和式的渐近值；尤其用Laplace方法得到包含α-Cauchy数和二项式系数倒数和式的渐近值。
　　 第三章：给出了Cauchy多项式C(α)n(z)的定义，并且导出它的发生函数.另外利用Riordan阵方法确定了包含Cauchy多项式的一些恒等式，同时获得Cauchy多项式与广义Harmonic多项式H(r)n(z)，广义Stirling多项式Pn，r(z)之间的关系式。
　　 第四章：主要研究广义Harmonic数及其n次Harmonic多项式.利用Riordan阵方法和发生函数方法研究广义Harmonic数与其它组合序列以及多项式之间的关系式(如：广义Stirling数、广义Stirling多项式、Bernolli多项式、Cauchy多项式).其次，应用渐近计数方法研究包含广义Harmonic数的部分和式的渐近性。