具有分形为衰减项的波动方程在局部一致空间上的吸引子

摘要

本文在局部一致空间上研究了具有临界增长率的非线性分形衰减波动方程解的动力行为：（此处为公式省略）
　　其中 N≥3;α,ω为给定正常数；(-Δ)、为分形衰减项，其参数θ∈ G(0,1];外力项f∈L2n(Rn)；u(x,t)：RN× R+→ R为未知函数;非线性项φ∈C1(R,R),且具有临界增长率1+4θ/{N-2θ}.
　　近年来，众多学者在有界区域上分析了此类方程的适定性和长时间动力行为，并且在许多文献中研究了方程整体吸引子、指数吸引子的存在性以及吸引子的分形维数.然而,在无界区域上，由于嵌入公式的非紧性，我们不能直接应用紧吸收集的存在性来证明吸引子的存在性.同时，一般的Sobolev空间不包含行波解和常数解.为了让这些特殊解包含在吸引子里，一些学者想到了有界的一致连续函数空间和加权空间，但是加权空间忽略了离坐标原点较远处的解的一些特征，并且缺乏类似于Sobolev嵌入公式这样有效的工具.后来，一些学者通过应用局部一致空间解决了这一问题.局部一致空间既有合适的嵌套性质，也有紧嵌入公式，还包含常值函数，但由于嵌入公式的某些差异，在局部一致空间中我们不能直接应用有界区域里的处理办法，必须采用完全不同的方法.Yang M.H.和Sun C.Y.在局部一致空间中研究了无穷领域上强衰减波动方程整体的适定性、解的渐近正则性和吸引子的存在性.
　　本文的目的是把上述结果推广到无穷领域上具有分形衰减项和超立方增长率的半线性波动方程上.近几年，分数阶微分方程的动力性质逐渐成为数学家和工程师们的热门课题.分数阶微积分理论不仅为描述记忆性和遗传性提供了完美的工具，还被广泛应用于物理和工程领域，如流体力学、生物学、化学、材料学等等.具有分形阻尼的波动方程是在波通过有损介质时出现的，如分形岩石层，人体组织，不同生物医学材料.并且据我所知,当非线性项具有立方增长率时，适定性以及吸引子的存在性问题可以像θ=0的情况一样得到.然而，对于超立方增长率还没有得到相应的结果.
　　本文在证明整体适定性的过程中首先证明渐近正则性，然后证明较强的吸引性,(H1u(Rn)×H21u(RN)，H2lu(RN)×H1u(Rn))-吸引子和(H11u(RN)×L2lu(RN),H-ρ(RN)×Hθρ(RN)-吸引子的存在性.

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