多项式优化问题极小值数量与界的逼近问题研究

摘要

多项式优化问题是目标函数和约束条件都用多项式描述的一类特殊的优化问题，广泛应用于信号处理、医学成像等实际问题中，但多项式优化问题一般是非凸的、NP难的，其全局最优问题难以求解，故研究多项式优化问题有重要的理论意义与应用价值.
　　多项式优化问题的极值数量与Hilbert提出的23个问题中的第16个问题相关.自1993年Durfee、Kronenfeld等人研究了两个变量的极小值数量问题之后再无进一步的研究成果，直到2003年Qi Liqun、Koklay提出了关于极小值数量的一个猜测，却未给出相关证明，但提出能否对其猜测进行证明的疑问，因此，论文首先给出QiLiqun、Koklay提出的当n≤2时，具有r个变量的2n或2n+1阶多项式，最多有n'个孤立局部极小值的猜测的证明过程.其次，基于Lasserre提出的将原紧约束问题转化为多项式平方和成立的条件，给出其条件推导多项式平方和式子成立的证明，从而找出其目标函数在约束集合中的下界.最后，在原有逼近界定理的基础上，将其进一步转化，获得了新的逼近界定理.新的逼近界定理较原有定理减少了参数，降低了计算复杂度。

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致谢

摘要

1．绪论

1．1 研究问题的背景

1．2 研究问题的意义

1．3 研究问题的现状

1．4 研究问题的内容与结构

2 基本理论

2．1 多项式优化问题

2．1．1 无约束多项式优化问题

2．1．2 紧约束多项式优化问题

2．2 SOS理论

2．3 Lasserre松弛方法

3 多项式优化问题极小值数量分析

3．1 两个变量极小值数量问题

3．2 r个变量极小值数量问题

3．3 本章小结

4 基于Lasserre松弛的紧约束多项式优化问题逼近界分析

4．1 基于Lasserre松弛的紧约束多项式优化问题

4．2 逼近界定理

4．3 本章小结

结论

参考文献

作者简历

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