网格对称点处导数小片插值恢复的强超收敛性

摘要

有限元方法是科学和工程计算中最主要的方法之一。在实际应用中，人们发现对某些问题，有限元解或其导数在一些特殊点有异乎寻常的收敛率，这种现象称之为“超收敛”。由于它对有限元计算的重要意义，超收敛已经成为有限元理论研究的一个热点，并且也可以通过后处理技术获得超收敛。1992年，Zienkiewicz-Zhu[18～20]提出了SPR后处理技术并给出了一些强超收敛(比最优的全局收敛阶高出二阶)数值结果，从此强超收敛性引起了数值分析学者的浓厚兴趣。张智民[15，16]已经给出了Z-Z技术强超收敛性的相关理论分析。张铁[13]针对二阶椭圆边值问题，采用插值恢复技术在单元节点处也得到了强超收敛的结果。 本文对二阶椭圆边值问题，采用了小片插值恢复技术在单元对称点(单元内边中点及单元中心点)处进行了强超收敛性分析。本文的恢复方法更简单实用，并且具有显式表达式。本文的结构安排如下：第一章，首先简单介绍了一下有限元方法以及它的超收敛性质。第二章，针对一类两点边值问题分析了导数小片插值恢复技术的超收敛性质以及强超收敛性质。第三章，针对二维椭圆边值问题研究了导数小片插值恢复技术的超收敛性质和强超收敛性质。其中，采用矩形网格剖分，考虑超收敛性质时，采用拟一致网格剖分，而在分析单元节点和单元对称点处的强超收敛性质时，采用局部一致网格剖分。第四章，针对一个具体的二阶椭圆边值问题，给出了恢复导数误差估计的数值结果。第五章，总结了本文所做的工作并给出了进一步研究的建议。

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文摘

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第一章绪论

1.1有限元方法的概述

1.1.1有限元方法的产生背景

1.1.2有限元方法的发展历史

1.1.3有限元方法的基本问题

1.2超收敛的概述

1.2.1超收敛的定义

1.2.2超收敛的发展历史及研究成果

1.3本文主要工作

第二章一维导数恢复技术及其超收敛性

2.1一维投影型插值算子及其逼近性

2.2导数小片插值恢复技术

2.3超收敛及强超收敛性

第三章二维导数恢复及其超收敛性

3.1二维投影型插值算子及其逼近性

3.2单元节点导数恢复公式

3.3单元对称点的导数恢复公式

3.4超收敛及强超收敛性

第四章数值算例

第五章结束语

参考文献

致谢