三维Minkowski空间中Mannheim和Bertrand曲线及其对应的主法线曲面

摘要

非欧几何的诞生，使得欧氏几何更加严谨和完备.在非欧空间中，三维Minkowski空间是一个新的具有代表性的空间，因为只有一个负指标且具有良好的对称性，这样在欧氏空间中的一些问题可以推广到Minkowski空间且得到不同的结论.在三维欧氏空间中，Mannheim曲线和Bertrand曲线是两类特殊的曲线，它们具有良好的几何和代数性质，因此将其推广到三维Minkowski空间中对于理解Minkowski空间中的理论具有重要的意义.本文按照欧氏空间中曲线和曲面的理论的研究思路，重点讨论三维Minkowski空间中Mannheim曲线和Bertrand曲线的一些性质及它们生成的主法线曲面.本文的第一章介绍与Minkowski空间相关的一些基本知识，例如定义、性质、Frenet标架、曲面的基本量及其这一空间中的直纹面.第二章讨论Mannheim曲线和其侣线类型之间的关系.第三章讨论Mannheim曲线生成的主法线曲面的极小轨迹，常高斯曲率曲线，测地线等.第四章讨论Bertrand曲线的充要条件及其Bertrand曲线生成的主法线曲面的极小轨迹、常高斯曲率曲线和腰曲线的问题.最后一章对本文进行总结和展望.

目录

文摘

英文文摘

第1章 引言及预备知识

1.1 引言

1.2 预备知识

1.2.1 n维Minkowski空间的定义及标架

1.2.2 三维Minkowski空间的内积和外积

1.2.3 三维Minkowski空间中的向量及曲线

1.2.4 三维Minkowski空间中的平面和曲面

1.2.5 三维Minkowski空间中一般曲线的Frenet公式

1.2.6 曲面的基本量和直纹面

第2章 Mannheim曲线及其侣线

2.1 第一类非类光标架下Mannheim曲线对之间的关系

2.2 第二类非类光标架下Mannheim曲线对之间的关系

2.3 第三类非类光标架下Mannheim曲线对之间的关系

第3章 Mannheim曲线的主法线曲面

3.1 第一类非类光标架下Mannheim曲线的主法线曲面

3.2 第二类非类光标架下Mannheim曲线的主法线曲面

3.3 第三类非类光标架下Mannheim曲线的主法线曲面

第4章 Bertrand曲线的主法线曲面

4.1 第一类非类光标架下Bertrand曲线的主法线曲面

4.2 第二类非类光标架下Bertrand曲线的主法线曲面

4.3 第三类非类光标架下Bertrand曲线的卡法线曲面

第5章 总结

参考文献

致谢