三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

摘要

相对于Euclidean空间，Minkowski空间是一个全新的领域。由于度量的不同，导致了一些基本概念有了质的变化，使得Minkowski空间的一些问题与Euclidean空间相比有着不同的结论，这些结论为Minkowski空间所独有。三维Minkowski空间中存在类空、类时和类光向量。在该空间中，沿着类空、类时和类光向量中的任意两个方向平移都可以形成平移曲面。
　　当沿着仿射坐标平移时，形成了该空间中的仿射平移曲面。基于这种思想，本文研究了仿射坐标下三维Minkowski空间中的平移曲面。
　　首先找到了仿射平移曲面的一般参数方程表示，引进参数口，口是常数。这样定义的平移曲面随着口的不同，有着不同的平移方向，并且平移的方向是沿着仿射坐标轴平移，从仿射的角度定义了新的平移曲面，使得平移曲面的研究范围更广。
　　接着选取一种新的度量，根据微分几何的基本知识，得到了该度量下仿射平移曲面的第一、第二基本形式以及高斯曲率和平均曲率，并引入变量变换化简了曲面的高斯曲率和平均曲率的表达式，使得计算过程更加简单。
　　最后主要讨论了高斯曲率和平均曲率的线性关系和非线性关系，具体分为七类进行了讨论，得到了仿射平移曲面的具体表达式，并对这些仿射平移曲面进行了新的分类，得到七个分类定理。

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 微分几何的发展史

1．2 非欧几何的发展

1．3 仿射几何的发展

1．4 研究背景和现状

1．5 本文的主要内容和研究目的及意义

第2章 预备知识

2．1 三维Minkowski空间

2．1．1 三维Minkowski空间的定义

2．1．2 三维Minkowski空间的标架

2．2 三维Minkowski空间中的向量的运算及Frenet公式

2．2．1 三维Minkowski空间中向量的内积、外积、混合积

2．2．2 三维Minkowski空间中曲线的Frenet公式

2．3 三维Minkowski空间中的曲面

2．3．1 曲面的第一基本量

2．3．2 曲面的第二基本量

2．3．3 曲面的高斯曲率和平均曲率

2．3．4 曲面的分类

2．4 仿射空间中的曲面

2．4．1 仿射映射

2．4．2 仿射变换群

2．5 三维Minkowski中的平移曲面

2．5．1 平移曲面的定义

2．5．2 仿射平移曲面的定义

第3章 三维Minkowski空间中的仿射平移曲面

3．1 仿射平移曲面

3．2 高斯曲率和平均曲率满足线性关系的仿射平移曲面

3．2．1 K=0的情况

3．2．2 K=c(c≠0)的情况

3．2．3 H=0的情况

3．2．4 H=c(c≠0)的情况

3．2．5 mK+nH=0的情况

3．2．6 mK+nH=c(c为常数)的情况

3．3 高斯曲率和平均曲率满足非线性关系的仿射平移曲面

第4章 总结

参考文献

致谢