几类随机SIS传染病模型的复杂性分析

摘要

近些年来，随着环境的污染，生态平衡的破坏，人口的流动，传染病已经严重的威胁了人类的身体健康和生命安全。因此，对传染病的发病机理、传播规律和控制方法的研究就显得尤为重要。目前，传染病动力学是对传染病进行理论研究的一种重要方法。通过传染病的发病机制，传播规律建立相应的数学模型来反应疾病的流行规律，从而了解疾病流行的全局性态。本论文考虑到随机因素对传染病传播的影响，建立了随机传染病动力学方程，全文共分为五章。 第一章:简单的介绍传染病的背景、研究进展及其现状，并介绍了本文的主要工作。 第二章:建立了一个带有双噪声和饱和非线性传染率的随机SIS传染病模型，运用随机平均法及非线性动力学理论对模型进行化简。分析了系统无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用Lyapunov指数和奇异边界理论得到各个平衡点的局部和全局稳定性条件;利用系统不变测度的Lyapunov指数分析了模型的随机Hopf分岔的位置和概率。 第三章:考虑到在疾病的传播过程中疾病潜伏期和人的恢复期对传染病的动力学行为具有重要影响，建立了一个非线性双时滞的随机SIS模型，通过Lyapunov泛函等知识讨论了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，并根据模型的系数得到了随机稳定性的充分性条件:在平衡点处传染病是渐近均方稳定和依概率稳定的。最后利用Euler-Maruyama近似方法来验证理论结果的正确性。 第四章:建立了带Lévy跳的具有饱和发生率的随机SIS模型。首先，在一定的假设条件下，给出了模型全局正解的存在性。然后结合Lyapunov泛函和It(o)公式以及鞅论等知识，推导出疾病灭绝性和持久性的条件。最后，根据确定性模型的再生数R0的取值情况，讨论了模型解的渐近行为。 第五章:简要回顾了前面的结论，着重介绍了本文研究内容的生物学和实际意义。最后分析了本文的一些不足和需要进一步研究的问题和工作。

目录

声明

摘要

1．1．1研究背景及意义

1．1．2随机传染病动力学研究现状

1．1．3时滞传染病动力学研究现状

1．2本文的主要工作

第2章具有饱和传染率的随机SIS模型的动态分析

2．1引言

2．2预备知识

2．2．1随机平均原理

2．2．2 It(o)随机微分方程与FPK方程

2．2．3随机分岔理论

2．2．4奇异边界

2．3模型的建立

2．4随机稳定性分析

2．5随机分岔

2．6数值仿真

2．7小结

第3章非线性双时滞的随机SIS模型的动态分析

3．1引言

3．2预备知识

3．3模型的建立

3．4随机稳定性分析

3．5数值仿真

3．6小结

第4章带Lévy跳的具有饱和发生率的随机SIS模型动态分析

4．1引言

4．2预备知识

4．3模型的建立

4．4系统的动力学行为

4．4．1全局正解的存在唯一性

4．4．2疾病的灭绝性

4．4．3疾病的持久性

4．4．4随机系统在染病平衡点处的渐近性行为

4．5数值仿真

4．6小结

第5章总结与展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果

个人简历