求解混合三角多项式方程组的同伦方法

摘要

非线性方程组的数值计算是科学与工程计算中的重要问题，而关于求方程组全部解的研究是其难点。同伦方法是求多项式方程组全部解的一种有效的数值方法。本文主要研究利用同伦方法求解混合三角多项式方程组及由混合三角多项式方程组转化来的多项式方程组。考虑以下问题。 1、不进行变元替换，直接求解混合三角多项式方程组。 2、利用混合三角多项式方程组转化过来的多项式方程组的特殊结构，构造更加有效的同伦进行求解。 第一章首先对同伦方法特别是求解多项式方程组的同伦方法做了简要的综述。然后给出混合三角多项式方程组的一般模型，例举了一些它在工程和科学领域中的应用，并阐述了混合三角多项式方程组与多项式方程组之间的相互转化关系。 第二章给出了一些求解混合三角多项式方程组的直接同伦方法，即不将其化为多项式组而直接构造同伦方法。这样可避免增加问题的维数，使路径跟踪过程效率更高。我们首先给出了求解一般混合三角多项式方程组的标准同伦方法，进一步的，针对实际应用中经常出现的亏欠混合三角多项式方程组，我们给出两种行之有效的随机线性乘积同伦：多重齐次同伦以及基于广义Bézout数构造的同伦，并且给出了一种新的变元分组方法。我们从理论上证明了所提出的方法的可用性，并将算法利用Matlab语言编程实现，通过数值试验验证了它们的实际有效性。 第三章给出两种求解由混合三角多项式方程组转化而来的多项式方程组的高效率同伦方法。利用这类问题的特殊结构，我们提出了混合同伦方法，不仅同伦的形式是混合的，而且求解方法也是符号计算方法和数值方法的结合。进一步利用这类方程组的部分对称性，我们给出了一种更加有效的方法：对称混合同伦方法。我们建立了所提出方法的理论基础并将其利用C++语言实现，通过数值试验验证了它们的有效性。 第四章是进一步的数值试验及实际应用。首先利用直接同伦方法和混合同伦方法两种方法分别求解不同类型的混合三角多项式方程组，给出了数值实验结果，说明两种方法各自适合求解的混合三角多项式方程组的类型；其后，我们着重讨论一个具有挑战性的实际工程问题—声纳和雷达信号处理问题。该问题用已有的方法很难求解，而当维数较大时，甚至不能求解。利用本文提出的混合同伦方法并结合系数参数同伦方法。我们很好地解决了这个实际问题，实现了快速求解。