几种高精度求积公式的构造与研究

摘要

数值积分是用数值逼近的方法近似计算一个积分的数值.无论在数学领域本身，还是机械工程等应用领域，数值积分都占据着非常重要的地位，其主要研究内容是如何构造具有一定标准的求积公式.鉴于求积公式对多项式计算的精确程度，目前已知的众多标准中，代数精度和三角精度是两个经典的标准.虽然数值积分的研究已经有超过数百年的历史，但至今仍有许多未能解决的问题.本文主要研究两部分内容:具有一定代数精度的二维或更高维求积公式的构造以及具有一定三角精度的一维求积公式的构造.详细内容如下.
　　高维求积公式的构造一直是数值积分研究领域的重点和难点.实际应用中，最常用的求积公式是乘积型区域上的乘积型求积公式.为了具有尽可能高的代数精度，该类型公式大多借助于一维Gauss型求积公式的简单张量积形式.虽然构造方式非常简单，但其所含有的节点数随维数成指数级增长，以致于非常不利于实际应用，尤其当维数较大时.为了减少节点数，Smolyak公式逐渐兴起.其优点在于该公式不仅仍是一维求积公式的某种张量积形式，而且，其节点数较乘积型公式有明显减少.本文主要研究一般乘积型区域上具有4次代数精度的求积公式.对于此情形，Gauss乘积型公式需要用到3n个节点;Smolyak公式至多大约需要2n2个节点，其中n代表维数.而本文中的公式仅至多大约需要n2个节点，是目前所知的最小节点数.不仅如此，其构造方法本身非常易于实际应用.本文方法将高维求积公式构造问题转化为一系列一维矩问题.这不仅大大减少了计算量，还保证了构造过程的顺利进行.除此之外，本文所构造的公式都具有显示表达式，这一点是Smolayk公式所不具备的.
　　实际应用中，如何估计一个求积公式对其计算所产生的误差是非常重要的.目前，比较流行的方法是用两个或多个求积公式的差去估计其中次数较低的求积公式的误差.为了最大程度地减少计算量，这些公式的节点往往被要求具有嵌套性.此时，称其为嵌入式求积公式.现在已知的嵌入式求积公式基本上是通过添加或删除节点构造的.然而，关于高维嵌入式求积公式，如何添加或删除节点实际上并没有非常有效的方法.大部分已知方法都是直接处理高维问题.本文将利用理想理论和多项式沿代数曲线插值理论构造二维嵌入式求积公式.本文方法将既定次数的构造问题转化成次数较低的构造问题，在一定程度上减少了计算量.并且，在某些特殊情形下，本文方法仅需要处理一维问题，从而进一步减少计算量.不仅如此，本文还给出一定条件下构造二维嵌入式求积公式的递推算法.
　　当被积函数具有一定周期性时，一般采用具有一定三角精度的求积公式去逼近其积分值.研究表明，当权函数非负时，n个节点所能达到的最高三角精度是n-1.但当其中有部分节点给定时，并没有这个最高三角精度的统一答案.针对给定1或2个节点，通过复分析技术该问题已经被解决.本文主要解决对任意多个给定节点如何添加新节点构造具有最高三角精度的求积公式.本文首先给出此类公式的最高三角精度以及新节点的退化性质.其次，给出此类求积公式的构造性算法，并且保证所有新节点都是简单节点，即，它们都是实的、两两不同、并且在积分区间内部.