P(L4,2)上的曲线对应于∧R3中的球面族的包络

摘要

李球几何是一门研究在李球变换下的不变量和不变性质的几何学，这里的李球变换指在(R)N上将李球（定向超球面、点球、定向超平面）变为李球（定向超球面、点球、定向超平面）而且保持定向切触不变的变换.(R)N中的李球与李二次曲面P(LN+1，2)上的点构成了一一对应关系.
　　本文的研究对象为当N=3时的李二次曲面P(L4，2).首先，我们给出了在R4，2上的P(L4，2)的一个参数化方程并得到了P(L4，2)上的活动标架场{r;r1，r2，r3，r4，n1，n2}的Gauss-Weingarten方程.然后，我们给出了P(L4，2)的测地线的精确表达式并且得到了P(L4，2)的测地线对应于(R)3中的球面族的包络.具体如下:
　　命题3.2.令C是P(L4,2)上的一条光滑曲线，参数方程如下:r(s)=(cosθ1cosθ2,cosθ1sinθ2,sinθ1 cosθ3,sinθ1 sinθ3,cosθ4,sinθ4)T.θ1，θ2，θ3，θ4是关于弧长参数s的函数.如果C是P(L4,2)上的测地线，则r=UVa.其中U=（U1000 U2000 U3)，V=(V1000 V2000 I2)，V1=（δ0-u0），V2=(γ0 v-1），Uk=（cosσk-sinσk sinσk cosσk），1≤k≤3，a=(cosψ cos(s)， cosψsin(s)，sinψcos(s)， sinψsin(s)，cos(ρ(s))， sin(ρ(s)))T，(s)=C3s-C4，而且u=α/β+1，v=α/β，δ=√1-u2，γ=√1-v2，cosψ=√β+1， sinψ=√-β，σ1，σ2，σ3，α，β和ρ是常量.并且0≤ρ≤1，(α，β)的取值范围为图3.1中的阴影部分.
　　定理4.1.P(L4，2)上的测地线对应于(R)3上的一族球面，这族球面的包络为圆环面.
　　最后，我们利用解析几何的方法得到了P(L4，2)上的任意一条光滑曲线对应于(R)3中的球面族的包络为圆纹曲面，并且给出了参数方程.

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景及研究现状

1．2 本文内容简介

2 预备知识

2．1 李球几何的基础知识

2．2 微分几何的基础知识

2．2．1 曲面上的自然标架场的运动公式

2．2．2 曲面上的测地线

2．2．3 曲面族的包络

3 P(L4，2)上的测地线

3．1 P(L4，2)的参数化

3．2 P(L4，2)的Gauss-Weingarten方程

3．3 P(L4，2)的测地线方程

4 P(L4，2)上的测地线对应于∧R3中的球面族的包络

5 P(L4，2)上的任意曲线对应于∧R3中的球面族的包络

6 结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢