多元全次数Hermite插值正则性研究

摘要

随着信息技术的发展以及科学与工程计算的需要，多元插值，特别是多元多项式插值，越来越显示其重要性，在曲面的拼接技术、有限元等诸多领域内有着广泛的应用.但是，与一元情形相比，多元多项式插值问题更加复杂，即便插值结点数等于插值空间的维数，也不能保证插值多项式的存在性和唯一性.因此，在进行多元多项式插值时必须首先解决它的适定性问题.本文以多元全次数Hermite插值为研究对象，研究了两个插值问题的适定性，一是任意d维空间上插值结点数m≤1/2d(d+3)时的插值问题，二是任意d维空间上插值结点数m=2d时的插值问题.主要工作与结论如下:
　　(1)设m≤1/2d(d+3)，在第g个插值结点处给定了函数值及直到pq阶偏导数值且p1≤p2≤…≤pm.首先对插值多项式的次数nz进行了讨论，结果表明只有当n=pm+pm-1+1时插值问题才有可能是适定的，从而缩小了适定性解域的研究范围，将插值问题所必须满足的不定方程(n+d d)=m∑q=1(pq+d d)简化为三种情形进行研究.然后针对每种情形，逐一讨论该不定方程的解，得到了一系列插值格式.对于奇异的插值格式，给出了严格的证明.对于大部分几乎处处正则的插值格式，利用点集选取法进行证明，即选取一个合适的结点集使得该插值格式是正则的.对于三族几乎处处正则的插值格式，给出了理论证明.不过，仍有部分插值格式的正则性有待于进一步研究.当m＞1/2d(d+3)时，本文给出的求解上述不定方程的方法以及插值格式是奇异的或几乎处处正则的证明方法仍然是有效的.
　　(2)对任意的d≥2，给出了一类几乎处处正则的插值格式.当m=2d时，利用组合数学的相关知识证明了两族恒等式，即找到了上述不定方程的两族解，并证明了这两族解所对应的全次数Hermite插值问题是几乎处处正则的，得到了两族几乎处处正则的插值格式.由这两族插值格式还得到了d-2个几乎处处正则的插值格式，插值结点数分别为k∑i=0(d i)，k=2，3，…，d-1.也就是对任意的d≥2，共得到d个几乎处处正则的插值格式.此外，还给出了这类插值格式几乎处处正则的一种构造性证明，该证明方法可用来由低维空间中的几乎处处正则的插值格式构造高维空间中的几乎处处正则的插值格式.

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 多元多项式插值的基本概念

1．2 多元多项式插值的研究概况

1．3 全次数Hermite插值

1．3．1 二元全次数Hermite插值

1．3．2 多元全次数一致Hermite插值

1．3．3 多元全次数非一致Hermite插值

1．4 本文主要内容

2 任意维空间上的全次数Hermite插值

2．1 引言

2．2 插值多项式的次数

2．3 奇异的插值格式

2．4 几乎处处正则的证明

2．5 本章小结

3 一类几乎处处正则的全次数Hermite插值

3．1 预备知识

3．2 一类几乎处处正则的插值格式

3．3 几乎处处正则的插值格式的一种构造方法

3．4 本章小结

4 结论与展望

4．1 结论

4．2 创新点摘要

4．3 展望

参考文献

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介