基于拓扑导数和流形基函数等几何分析的结构拓扑优化设计

摘要

等几何分析致力于集成几何建模与力学分析系统，实现几何建模与分析、优化设计的一体化。相较于传统有限元分析模式，等几何分析可以保持几何精确，单元与单元之间具有高阶连续性，可以提高应力函数的计算精度及应力场的光滑性。结构拓扑优化设计是一种创成式构型设计方法，可给出具有最佳力学性能的设计方案。其中考虑应力约束的拓扑优化方法可有效避免应力集中现象，具有重要的工程意义。为此，本文开展基于拓扑导数和流形基函数等几何分析的结构拓扑优化设计研究。 首先，结合非均匀有理B样条(NURBS)等几何分析和拓扑导数方法进行结构的应力拓扑优化。应力拓扑优化方法大多基于有限元分析框架，对于带有曲形边界的结构而言，有限元分析得到的应力结果精度误差较大，且不光滑；一种可行的解决办法是对网格加密到一定程度，但这又会增大分析计算时间，影响拓扑优化的效率。为克服上述计算困难，本文建立了等几何分析框架下的应力相关拓扑优化设计列式。优化方法采用拓扑导数法，利用应力范数的拓扑导数场直接构造水平集函数，逐步删减拓扑灵敏度值最低的材料区域，直至满足收敛要求。数值算例给出的拓扑优化结果表明，本文方法在减少结构材料体积的同时，可有效控制应力水平。 其次，将构造流形曲面的流形基函数用于拟合待求物理场，实现了基于流形基函数的等几何分析方法。迄今，等几何分析的研究大都集中在NUBRS曲面建模上，对于拓扑结构更复杂的曲面，则需要多个NURBS单片拼接才能构造。此外，还需要一些额外的光滑技术满足拼接点处的光滑连续性。本文引入流形曲面构造技术解决NURBS等几何分析遇到的上述问题。利用微分几何中流形覆盖的概念，可直接构造出具有任意复杂拓扑结构的光滑曲面，进而从根本上避免了面片拼接的操作。而且，在非结构网格的奇异点处仍可保持高阶连续，其连续性阶数取决于混合函数的阶数。将几个平面应力问题算例结果分别与有限元和NURBS等几何分析进行了对比，验证了本文方法的精度。 最后，将流形基函数等几何分析扩展于结构拓扑优化中，开展了刚度最大目标和应力最小目标下的拓扑优化设计研究。结构优化过程仍采用拓扑导数法，其中利用了水平集的思想，将拓扑导数场信息直接用于构造水平集函数，无需计算复杂的雅可比方程。优化算例表明，结构刚度会随体积减少而削弱；应力最小优化目标下整体结构的应力分布会更均匀。两种拓扑优化构型都具有清晰的边界，可供工程设计参考。

目录

声明

1 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 基于等几何分析的结构拓扑优化研究现状

1.2.1 结构等几何分析研究现状

1.2.2 等几何分析框架下的结构拓扑优化研究现状

1.2.3 拓扑导数方法研究现状

1.3 本文研究内容

2 基于拓扑导数的NURBS等几何结构应力拓扑优化设计

2.1 引言

2.2 基于NUBRS的等几何分析

2.2.1 NURBS曲面建模

2.2.2 基于NURBS的等几何分析

2.3 基于拓扑导数的应力最小问题拓扑优化列式

2.3.1 拓扑优化模型

2.3.2 全局应力度量函数S的拓扑导数

2.3.3 拓扑灵敏度计算

2.3.4 拓扑导数优化算法

2.4 应力最小问题优化算例

2.4.1 悬臂梁结构

2.4.2 L型梁结构

2.4.3 1/4圆环结构

2.5 本章小结

3 基于流形基函数的结构等几何分析

3.1 引言

3.2 微分几何理论基础

3.2.1 流形概念

3.2.2 单位分解法

3.3 流形基函数

3.3.1 局部形状函数

3.3.2 混合函数

3.4 基于流形基函数的等几何分析

3.4.1 静力平衡方程与边界处理

3.4.2 平面应力问题

3.5 本章小结

4 基于流形基函数等几何分析的结构拓扑优化设计

4.1 引言

4.2 刚度最大结构拓扑优化设计

4.2.1 最小柔顺性拓扑优化列式

4.2.2 最小柔顺性拓扑优化算例

4.3 基于流形基函数等几何分析的应力最小结构拓扑优化设计

4.3.1 应力最小拓扑优化列式

4.3.2 应力最小问题拓扑优化算例

4.4 本章总结

结论

参 考 文 献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢

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