求解非线性反问题的稀疏约束正则化方法研究

摘要

本文研究了非线性反问题的稀疏约束正则化方法。由于反问题的不适定性,数值结果对数据比较敏感,而观测数据中大量测量噪声的存在,必须通过正则化方法处理,而稀疏约束正则化方法作为一种有效的正则化技巧,近年来得到了广大学者的关注。传统的Tikhonov正则化方法罚项是二次的,其作用是减弱原不适定问题近似解的震荡性,使得近似解具有一定的光滑性,从而给出稳定的近似解。然而,在实际数学物理反问题的应用中,常常会遇到解为不连续函数或含尖点的函数,此时经典的正则化方法因其解的光滑性而与实际有所偏差,而稀疏正则化方法(又称Ip约束正则化方法)则能很好地反演出跳跃性较大的参数部分。
　　 本文首先通过对Landweber迭代法的研究分别引入两种迭代法:投影伸缩迭代法和对偶迭代法。用此两种算法分别求解稀疏约束泛函的极小点,并给出两种算法的收敛性和稳定性估计。
　　 最后,对地震勘探中基于二维波动方程波速反演的问题进行了数值模拟。采用两种不同的速度模型验证稀疏约束正则化方法的有效性。理论分析和数值实验的结果表明:稀疏约束正则化方法对于不连续介质模型具有良好的识别能力。相对于经典的Landweber迭代法,投影伸缩迭代法和对偶迭代法能获得较好的反演结果,不仅有效的克服了非线性反问题的不适定性,同时大大减少了计算量。