鞍点问题的预条件子研究

摘要

矩阵计算是科学和工程计算的基础，很多科学和工程的计算问题都是通过矩阵计算来获得所要求的数值结果，在很多实际应用中，均会碰到鞍点问题或广义鞍点问题的求解，比如流体动力学，最优化，经济学，金融，电路网络，电磁学，椭圆偏微分方程的混合有限元近似等等。
　　 在鞍点问题的求解中，其系数矩阵经常是大型稀疏的矩阵，这就使得需要用迭代的方法来求解这样一类问题。然而直接法也是一个不可或缺的方法，比如在最优化问题中应用比较多，同时直接法也常用于求解一些子问题，比如用于预条件方程的求解。在迭代法中最经典的方法有Uzawa方法，但是它有一个缺点，就是算法中迭代每一步都涉及到求解一个线性方程组。然而Krylov子空间方法是一类很好的方法，比如MINRES，GMRES，QMR，GCG，CR等。但如果不适当的选取预条件子，这些方法在求解大型非对称线性方程组时收敛速度也很慢。通常在实际问题中所产生的鞍点矩阵都具有一定的结构，例如，块矩阵A经常是一个块对角的，并且每一个对角块也都有特殊的结构。所以针对不同结构的鞍点矩阵要采用不同的迭代算法，使得求解过程在计算量和存储量上有一定的优势。
　　 本文主要研究鞍点问题的预处理方法。现如今有很多预处理方法求解鞍点问题，本文结合现有的方法，在它们的基础上做出一些改进或推广。本文首先考虑求解一个离散后PDE约束最优化的问题，经离散后产生的鞍点问题其系数矩阵是一个稀疏矩阵，并且它的结构是块对称的。根据它的系数矩阵结构的特性，本文提出了一个最优约束预条件子，能有效地减少求解这种类型的鞍点问题的计算量。其次是利用HSS迭代的思想，将单参数维数分裂预条件子推广到双参数形式，得到一个双参数分裂预条件子。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 引言

1．2 预备知识

1．3 本文研究的主要内容

第2章 由PDE约束最优化中产生的鞍点问题的最优约束预条件子

2．1 引言

2．2 块对角预条件子

2．3 最优约束预条件子

第3章 广义鞍点问题的一个双参数块分裂预条件子

3．1 引言

3．2 分裂迭代法

3．3 双参数分裂预条件迭代法

3．4 双参数DS方法的收敛性

3．5 数值实验

第4章 结束语

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果