分数维拉普拉斯型Hénon型方程基态解的存在性与部分Hénon型方程组正解的渐近性

摘要

本文主要研究了分数维拉普拉斯型Hénon型方程基态解（又称最低能量解）的存在性与部分Hénon型方程组基态解的渐近性.全文共分四章.
　　 在第一章中，我们介绍了分数维拉普拉斯型Hénon型方程和部分Hénon型方程组的研究背景和已有的主要结果，以及在研究分数维拉普拉斯型Hénon型方程基态解的存在性和部分Hénon型方程组基态解的渐近性时所遇到的困难;并叙述了克服这些困难的方法以及本文的主要结果.
　　 在第二章中，我们研究了如下问题的基态解的存在性:｛（-Δ）α/2u=λu+|x|β|u|2*α-2u，x∈Ω，(1)u=0， x∈(a)Ω,其中Ω（∈）RN是一个光滑有界区域，N≥2α，λ＞O，β＞0，0＜α＜2,及2*α=2N/N-α是临界Hardy-Sobolev指数.我们证明了对于每个固定的m∈N，当N=2α，λm＜λ＜λm+1且β＞0很小或者N＞（1+√2）α，λm≤λ＜λm+1且β＞0很小时，问题(1)存在一个基态解，其中λm是带有零Dirichlet边界条件的-Δ的特征值.
　　 在第三章中，我们研究了如下部分Hénon型方程组基态解(u，v)的渐近性:｛-Δu=2p/p+q|y|αup-1vq,x∈Ω，-Δv=2q/p+q|y|αupvq-1, x∈Ω,u，v＞0， x∈Ω，(2)u=v=0， x∈(a)Ω，其中Ω=Bκ(0，1)×BN-κ(0，1)（∈）RN，x=（y，z）∈Rκ×RN-κ，p,q＞1，p+q＜2*:=2N/N-2，2*是Sobolev临界指数.我们证明了固定α＞O，当p+q→2*时，基态解（u，v）的每个分量的最大值点趋向于区域Ω边界的同一点.
　　 在第四章中，我们研究了固定p+q∈(2，2*)，当α→+∞时，方程组(2)的基态解(uα，vα)的渐近行为，假设xα=(yα,zα），x'α=（y'α，z'α）在Ω中分别是uα，vα的最大值点，那么我们证明了yα，y'α→yo∈(a)Bκ(0，1).

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 分数维拉普拉斯型Hénon型方程的基态解的存在性研究

§1．2 部分Hénon型方程组的基态解的渐近性研究

第二章 分数维拉普拉斯型Hénon型方程基态解的存在性

§2．1 本章的主要结果

§2．2 定理的证明

第三章 当p+q→2*时部分Hénon型方程组基态解的渐近性

§3．1 本章的主要结果

§3．2 定理3．1．1的证明

§3．3 定理3．1．2的证明

第四章 当α→+∞时部分Hénon型方程组基态解的渐近性

§4．1 本章的主要结果

§4．2 Sαp1q的渐近估计

§4．3 定理4．1．1的证明

参考文献

致谢

硕士期间研究成果