几类非线性微分方程的对称及解析解的研究

摘要

本文主要研究了几类非线性微分方程的对称与解析解. 首先在第一章中简单介绍了相关的研究背景和本文的主要工作.然后,在第二章中基于李对称方法研究了一种广义的Boussinesq方程,求出其无穷小对称的向量场、伴随矩阵表示及群不变解,将原方程化为常微分方程,并通过幂级数理论和比较系数法解方程从而得到了该方程的精确解析解及幂级数形式解. 第三章和第四章,基于Hirota双线性法,将 Bell多项式与黎曼theta函数推广到(2+1)-维广义的Bogoyavlensky-Konopelchenko方程中，得到了该方程的双线性形式,双线性Backlund变换和相关的L a x对及解析解,包括孤子解和周期波解.并进一步研究所求出周期波解的渐近性质，证明了周期波解和孤子解是有密切联系的，即在满足某种极限条件下,周期波解可以退化成孤子解. 并通过Maple软件对方程的孤子解,周期波解以及周期波解的渐近情况进行形象的图形模拟与分析. 第五章，同样的方法即Hirota双线性法和黎曼theta函数研究了另外一个非线性微分方程(3+1)-维变系数B-typeKadomtsev-Petviashvili方程的孤子解、多维周期波解及其渐进性.并通过Maple软件画出周期波解的传播图进行分析.此外,我们还用了双曲函数tanh方法和tan方法求得了该方程的行波解.最后对全文进行简单的总结和展望.