广义Hermite码的自同构群对重量分布的作用以及重量是最小Hamming重量的码字个数

摘要

研究代数几何码的主要理论基础是代数几何，在编码方式与研究码的性质上都要用到代数几何的概念和定理，特别是要用到代数几何中最重要的三个定理：Riemann-Roch定理，Hasse-Weil定理，Bezout定理．特别是Riemann-Roch定理，它是研究代数几何码的核心工具，在文中定理3，定理4可以看到它的应用。 代数几何码根据赋值方式的不同，可以分为两大类：几何RS码和几何Goppa码。可以证明几何RS码C(D，G)和几何Goppa码C<'*>(D，G)是对偶码，并且C(D,G)=C<'*>(D，W+D—G)，其中W是典范除子。而对于对偶码，他们的重量分布有内在联系，即Macwilliams恒等式W<,c<'⊥>>(z)=1/2<'k>(1+z)<'n>W<,c>(1-z/1+z)。所以一般的说我们只要研究几何RS码。 代数几何码具有非常好的性质，它是由有限域上的代数曲线得到的码，码的性质由代数曲线的性质决定。寻找或研究一些非常优美的代数曲线，就可能得到性质好的代数几何码。对于F<,q<'2>>上的Hermitian曲线y<'q>+y=x<'q+1>，我们可以看到左边是迹映射，右边是模映射，曲线上有理点的个数达到Hasse-Weil界，因此由这个曲线得到的码的性质非常好。 在本文中我们研究了广义Hermitian曲线y<'q>+y=x<'s>，s≠q+1。它同样达到Hasse-Weil界，并且性质和Hermitian码很类似，比如Hermitian曲线上存在仿射自同构群，对于广义Hermitian曲线，通过类似的途径也可以得到相似的仿射自同构群。但是，存在仿射白同构群的曲线是非常少的。在[7]中定义了仿射自同构群对Hermitian码的作用，这种群对集合的作用可以平移到广义情形。[8]中对Hermitian曲线上的仿射自同构群作了推广，并且全面研究了Hermitian码的所有可能的自同构群。曲线的仿射自同构群是码的自同构群的子群。 [7]中通过仿射自同构群对码的作用，可以得到一个关于码的重量分布的结论。当(e，q)=1时，所有重量为e的码字个数α<,e>≡0 mod(q<'3>(q<'2>-1))。那么对于广义的情形，也有相类似的结论。特别要说明的是，对于s=1时曲线y<'q>+y=x，它的仿射自同构群会出现变异，群的阶相对来说很大。那么相应的，对于大部分的e，重量为e的码字个数α，会被一个比较大的数整除。对于码的最小距离，Hermitian码C(D，mP<,∞>)的最小距离已经在[10]中具体给出。[9]中提出了拟Hermitian曲线的概念，这类曲线非常广泛，广义Hermitian曲线是其特殊情形，在文中研究了拟Hermitian码C(D，mP<,∞>)在m取某些值的时候，最小距离达到下界，但是没有具体的给出这样的m值，因为具体情形比较复杂，拟Hermitian曲线的内涵太广。因此在本文中对广义Hermitian码C(D，mP<,∞>)我们具体给出了最小距离达到下界时m所要满足的条件，并且对于重量为最小Hamming重量的码字个数，有一个上界，这样我们就对这个数值就有一个大概的估计。 作为以后研究的方向，可以有如下三个方面。 1，找出所有广义Hermitian码C(D，mP<,∞>)的自同构群。 2，具体给出广义Hermitian码的重量分布。 3，对所有的m值，确定其广义Hermitian码C(D，mP<,∞>)的最小距离。这三个方向都很有意义。

目录

1.背景

2.知识准备

3.Hermitian码的自同构群

4广义Hermitian码上的自同构群

5最小Hamming重量

参考文献

致谢