一类IMGS方法的收敛性和比较定理

摘要

数学、物理、流体力学和经济学中的许多问题最终都归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的线性代数方程组。因此，研究大型稀疏线性方程组的解法成了人们所关注的焦点。由于迭代法能够充分利用矩阵的稀疏性，从而节省存储单元，因而它是解大型稀疏线性代数方程组的比较实用的方法之一。而判断迭代方法好坏的标准通常是它的收敛性和收敛速度，从而我们应找到一种收敛性好且收敛速度快的迭代法，这样才有实际的价值。为了更好地解线性方程组，我们引进非奇异的预条件矩阵，通过预条件矩阵的作用加快迭代的收敛速度。本文在文献[1]=[6]的基础上，给出了一种预条件矩阵为JP=I+Sa的IMGS方法，讨论了当系数矩阵为非奇异的M-矩阵、H-矩阵以及严格对角占优矩阵时方法的收敛性，然后在假设系数矩阵为不可约的M-矩阵时，得到了IMGS方法与基本的TOR迭代法、PSOR方法和PAOR方法之间的比较定理，从而推广和改进了原来已有的结论。 下面介绍本文的结构和主要内容： 第一部分是引言。我们给出了预条件方法产生的背景，以及基本的TOR迭代法、SOR迭代法和AOR迭代法的迭代矩阵，引进了预条件矩阵P，并且给出了IMGS方法、PSOR方法和PAOR方法的迭代矩阵。 第二部分是预备知识。这部分是为第四部分和第五部分做准备，主要是给出了一些重要的定义和引理，例如M-矩阵、H-矩阵、矩阵分裂等。 第三部分是已有的相关结论。这一部分主要是介绍前人在预条件方法上所作的一些工作，包括如何选取预条件矩阵以及相关的比较定理。 第四部分是IMGS方法的收敛性，是本文的主要结论部分之一。这一部分我们主要是讨论了IMGS方法的收敛性问题，得到了当系数矩阵A为非奇异的M-矩阵、H-矩阵以及严格对角占优矩阵时IMGS方法收敛，然后用数值例子验证了所得的主要结论。 第五部分是IMGS方法的比较定理，也是本文的主要结论部分之一。这一部分我们在假设系数矩阵A为不可约M-矩阵的前提下，讨论了IMGS方法与基本的TOR方法、PSOR方法和PAOR方法之间收敛速度的快慢问题，得到了IMGS方法的收敛速度要快于后面三种方法的收敛速度，同时还给出PSOR方法和PAOR方法中的参数的最优值，最后用数值例子验证了所得的主要结论。第六部分是小结与前景展望。这部分主要是对文章的主要思想、方法和本文得到的主要结论做一总结，然后对预条件方法的前景做了展望。

目录

声明

1引言

2预备知识

3已有的相关结论

4方法的收敛性

4.1收敛性

4.2数值例子

5比较定理

5.1与TOR方法的比较

5.2与PSOR方法的比较

5.3与PAOR方法的比较

5.4数值例子

6小结与前景展望

参考文献

致谢

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