Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的上同调

摘要

自上同调理论出现后，其思想方法很快成为数学研究的主流方法之一。近年来，许多数学家把这一思想方法运用到群、代数、以及模理论的研究中。例如：Pareigis在文献[32]中研究了Hopf代数上模的上同调理论；Caenepeel和Guedenon研究了相关Hopf模的上同调理论(参见文献[7])；Panaite在文献[30]中讨论了Yetter-Drinfeld模的形式上同调；Yau在此基础上研究了Yetter-Drinfeld模的上同调映射(详见[42])；Mastnak和他的同伴在文献[24]中研究了有限维pointedHopf代数的上同调理论。关于这方面的研究论文很多，这里就不再一一列举。本文的目的是把上同调理论的思想方法运用到Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的研究中。Doi-Hopf模的概念是由Doi于1992年在文献[15]中给出的。人们发现Doi-Hopf模统一了很多的模结构，例如，Sweedler的Hopf模，Takeuchi的相关Hopf模，分次模，以及Yetter在1990年给出的Yetter-Drinfeld模。众所周知，具有双射antipode的Hopf代数上Yetter-Drinfeld模范畴是辫子monoidal范畴，其辫子结构可为量子Yang-Baxter方程提供解。
　　 在本博士学位论文中，我们主要讨论Doi-Hopf模和Yetter-Drinfeld模的上同调理论并计算二面体群的Hopf-Ore扩张A(n，0)的单Yetter-Drinfeld模。我们首先研究Doi-Hopf模范畴中的内射对象，极小内射解以及上同调群。然后构造二面体群的Hopf-Ore扩张A(n，0)的所有单Yetter-Drinfeld模，并对它们进行分类。最后我们给出Yetter-Drinfeld模上同调理论研究的一些基础性工作。
　　 本博士学位论文的结构安排如下。在第一章中，我们简单地回顾一下有关Hopf代数、Hopf代数的量子偶、谱序列、Hopf Ore扩张以及一些其它有关的概念。在第二章中，我们探讨了左-右(H,A，C)-Doi-Hopf模的上同调，其中(H,A，C)是一个Doi-Hopf系统，即H是有双射antipode的Hopf代数，A是右H-余模代数，C是左H-模余代数且有一个群样元1C。假设有一个余代数反同态φ∶C→H使得φ(1C)=1。我们首先讨论右C-余模范畴MC，利用φ，我们定义了MC到自身的一个函子((-))，并对任意的C-余模M和N，定义了Hom(M,N)的一个左C*-模结构，研究了Hom(M,N)的极大有理子模HOM(M,N)，这是含于Hom(M,N)中的最大右C-余模。我们还讨论了两个右C-余模M和N之间的C-余模同态组成的空间HomC(M,N)，研究了两个Hom函子HOM和HomC的右导来函子EXT和ExtC的性质，借助余不动点函子和函子((-))，将函子EXT和ExtC通过谱序列联系在一起。然后，在假设φ满足条件(Cφ)的前提下，探讨了DoiHopf模范畴AM(H)C的上同调。此时同样可定义AM(H)C到自身的一个函子((-))以及函子AHOM(-，-)，我们研究了函子AHOM(-，-)和AHomC(-，-)的右导来函子AEXT和AExtC的性质，并通过谱序列给出了这两个Ext函子之间的联系。最后，我们讨论了函子BHOM(A，-)和HOM(A，-)，这里B=AcoH为不动点子代数。当C是余半单时，我们得到了一些更为特殊且有趣的结果，这些结果在本章的最后一节中。(M,N)在第三章，假设n=2d是一个偶数，A(n，0)是二面体群Dn的一个Hopf-Ore扩张，我们讨论了A(n，0)上的Yetter-Drinfeld模。首先，对任意的左H-模L，回顾了L(O)H的YD H-模结构。当L是左A(n，0)-单模时，我们讨论了L(O)H的由单子余模生成的YDA(n，0)-子模的性质。可以证明，L(O)H的A(n，0)-单子余模有形式k(l(O)g)，其中l∈L，g∈Dn。从而我们分d为奇数和偶数两种情况分别讨论了YDA(n，0)-模A(n，0)·(l(O)g)的结构和性质。给出A(n，0)·(l(O)g)是单YDA(n，0)-模的充分必要条件，同时也给出了两个这样的单YDA(n，0)-模同构的充分必要条件。由此对单YD A(n，0)-模进行了分类。(M,N)在第四章中，我们给出了Yetter-Drinfeld模上同调理论研究的一些基础工作。设H是具有双射antipode的Hopf代数，我们首先研究了H-余模HOM(M,N)，证明了对任意的YD H-模M和N，HOM(M,N)也是一个YD H-模。然后，根据文献[18]，通过左H-内射模，构造了YD H-模范畴中的内射对象。对偶地，利用投射右H-余模构造了YD H-模范畴中的投射对象。进一步地，对任意的YDH-模M，我们在Yetter-Drinfeld模范畴中分别构造了M(O)H的内射解和H(O)M的投射解。

目录

文摘

英文文摘

声明

Chapter 1 Introduction and preliminaries

1.1 Hopf algebras and their modules

1.2 Spectral Sequences

1.3 Ore Extension of Hopf algebras

Chapter 2 On the cohomology of Doi-Hopf modules

2.1 The Right Derived Functors of the Coinvariant Functor and the HOM Functor

2.2 The Right Derived Functors of AHOM(-, -) and AHomC(-, -)

2.3 The Functor BHOM(A,-)

Chapter 3 Yetter-Drinfeld Modules over The Hopf Ore Extension of The Group Algebra of Dihedral Group

3.1 Yetter-Drinfeld Modules

3.2 The case: d is odd

3.3 The case: d is even

Chapter 4 On the cohomology of Yetter-Drinfeld modules

4.1 The HOM functor

4.2 Injective and projective resolutions

Bibliography

Publications

Acknowledgements