Sylow对象具有给定局部性质的有限群

摘要

群论是代数学的一个重要分支。有限群研究的一个主要任务就是研究各种群的构造。追溯到上世纪六、七十年代,平行于有限单群分类问题的研究,大量的关于有限可解群的深刻而优美的结果也随之产生。1980年,H.Wielandt提出,在有限群分类问题基本解决之后,应优先考虑将有限可解群的结果拓展到一般群类的领域。
　　 130多年前发表的Sylow定理以及随之产生的各种Sylow对象,是长期以来有限群论的中心发展方向之一。在群论研究中,Sylow对象(准素子群、准素子群的正规化子和中心化子、Hall子群、Carter子群等)在有关寻找有限群的正规子群的Frobenius定理,Burnside定理,Glauberman定理等著名定理中被广泛应用。借助于Sylow2-子群,Brauer,Uolter,Gorenstein,Gilman,Janko,Mazurov,Seiskin等许多数学家用它来刻画单群。同样,准素子群和它的正规化子导致了群分析的局部理论,该理论成为有限单群分类理论的基础。研究群的可解性,Sylow对象同样起着十分重要的作用。近年来,在单群分类解决之后,可解群和群类理论得到了蓬勃发展,Sylow对象的研究出现了大量新的重要成果,它们正促进着群论和相关代数学科的发展。
　　 一个子群H称为在G中可补的,如果存在一个子群K,使得G=HK且H∩K=1。作为可补的更一般性概念,群G的子群日称为在G中可补充,如果存在G的子群K满足G=HK,此时K称为H在G中的补充。众所周知,子群的可补性质对有限群研究有着重要的作用。例如,1937年,Hall证明了:一个有限群G是可解的当且仅当G的任意Sylow子群在G中可补。1965年,Kegel证明了:如果群G的任意极大子群在G中有循环补充或G的某一个幂零子群在G中有幂零补充,则G可解。1982年,Arad和Ward证明了G是可解的当且仅当G的任意Sylow2-子群和任意Sylow3-子群在G中可补。
　　 作为以上研究的发展,近年来,国内外许多学者利用Sylow对象的可补性质开展了广泛而深入的研究。如王燕鸣在1996年介绍了c-正规子群(c-补)的概念,证明了G是可解的当且仅当G的每个极大子群在G中c-正规。1999年,郭秀云等证明了:如果群G的任意Sylow子群的极大子群在G中可补,或G的每个极小子群在G中可补,则G是超可解的。2008年,郭文彬给出了F-可补子群的概念,结合群类理论,利用子群的F-可补性质得到了有关可解群和超可解群的一些新的刻画。
　　 对于非可解群,一些学者利用广义Fitting子群F*(G)的某些准素子群的局部性质,得到了有限群结构的一些新的信息。
　　 作为以上工作的继续,本学位论文结合群类群系理论,从另一角度对子群的补充加以限制,给出了Fs-可补子群的概念,并利用Fs-可补子群的性质得到了群的一些新的重要性质和结构。特别地,利用Sylow对象的Fs-可补的性质对可解群群类、p-幂零群群类、p-超可解群群类等具体群类进行了细致的刻画。同时通过对Fitting子群和广义Fitting子群中某些准素子群的Fs-可补性质的考察,研究了相关群类和群系的性质和结构。作为一类特殊的可补子群的局部性质,Fs-可补性可以认为是对子群可补性研究的自然延伸,而且随着与群类群系理论的相结合,就可以产生一系列新的方法来揭示有限群的构造。
　　 本论文主要分三个部分讨论了Sylow对象具有局部性质的有限群的构造。
　　 第一部分,对于一个群类F,我们首先构造并定义了Fs-可补子群的概念,较系统地研究了Fs-可补子群的一般性质,其中利用Sylow子群的极大子群、正规化子等重要Sylow对象的Fs-可补性质对p-幂零群、p-超可解群的结构进行了较为广泛而深入的研究,得到了一批新成果。主要结果有:
　　 设G是有限群,p是|G|的奇素因子,P是G的Sylow p-子群。那么G是p-幂零的充分必要条件是如果NG(P))是p-幂零的且P的每一个极大子群在G中Fs-可补,这里F是所有p-幂零群组成的群类。
　　 设G是p-可解群,p是|G|的一个素因子。那么G是p-超可解的当且仅当Fp(G)的非循环Sylow p-子群的每个极人子群在G中Fs-可补,这里F是由所p-超可解群组成的群类。
　　 接着结合群类群系理论,通过对Fitting子群和广义Fitting子群中某些子群的Fs-可补性质的考察,得到了一个群属于某些包含超可解群系的饱和群系的条件,研究了相关群类和群系的性质和结构。主要结果有:
　　 设F是包含u的一个饱和群系,这里u表示由所有超可解群组成的群系。假设G是一个群,H是G的正规子群且满足G/H∈F。如果F*(H)的非循环的Sylow子群的任意极大子群在G中或者有超可解补,或者有us-补,则G∈F。
　　 此结论推广了韦华全的结果:设F是包u的一个饱和群系,这里u表示由所以超可解群组成的群系。假设G是一个群,H是G正规子群且G/日∈F。如果F*(H)的Sylow子群的任意极大子群在G中c-正规,则G∈F。
　　 同时我们还得到了可解群的一些新的刻画(定理2.2.17,定理2.2.18):
　　 第二部分,讨论了子群的弱c-正规性。我们利用准素子群的弱c-正规性,给出了一个群是可解群的若干条件。同时我们还应用极大子群和2-极大子群的弱c-正规性,得到了群p-幂零、p-可解、超可解的一些充分条件。主要定理有:
　　 设H是群G的Hallπ-子群并且2∈π。如果NG(H)超可解且NG(H)的某一极大子群在G中弱c-正规,则G可解。
　　 设G是可解群,F(G)的每个Sylow子群的极大子群在G中弱c-正规,则G超可解群。
　　 设G是一有限群,则G是可解的充分必要条件是G的任一个包含在Fsc中的非幂零极大子群M在G中弱c-正规。
　　 该学位论文的第三部分研究了Sylow对象具有超可解s-补的有限群。我们利用Fitting子群和广义Fitting子群的某些准素子群的超可解s-可补性,研究了相关群类的性质和结构,得到有限群特别是超可解群一些新的结果。主要结果有:
　　 假设G是一个有限群,且具有可解正规子群H使得G/H∈u。G是超可解的当且仅当F(H)的所有非正规极小子群和4阶循环子群在G中有超可解s-补。
　　 假设G是一个有限群,且具有正规子群日使得G/H∈u。G是超可解的当且仅当F*(H)的所有非正规极小子群和4阶循环子群在G中有超可解s-补。
　　 论文中所有的群为有限群。论文的所有研究广泛运用了群类的理论及其研究的思想和方法。