微分系统中心焦点和偶等价问题研究

摘要

微分系统解的定性性态的研究，不但对微分方程理论的发展发挥极大的作用，同时对研究客观世界中物体的运动规律、生物种群的变化规律、宇宙卫星的运动轨迹、复杂网络动力学等也具有极大的实际应用价值。微分系统分为自治系统和非自治系统两大类。在自治系统解的定性性态的研究进展中，有一个与解决Hilbert第十六问题密切相关的问题，即多项式系统的中心焦点问题的研究。迄今，各种各样的方法已被尝试，但也只有二次多项式系统以及一些特殊三次系统的中心焦点问题被解决，而对于一般三次及更高次多项式系统的中心焦点问题，目前还有许多没有攻克。
　　本文拟采用一个新方法—Mironenko反射函数法研宄更为一般的三次系统的中心焦点问题，得出了一些好的结果。在此文中的第三章首先将三次多项式系统转化为一个周期有理分式微分方程，然后给出了这个有理分式方程具有线性及一次有理分式函数形式的反射函数的充要条件，并应用所得结论导出了一些三次多项式系统以原点为中心的充分条件。
　　另外，对于一个时变微分系统的定性性态研究，一般情况下是比较困难的。若能建立一个复杂时变微分系统与一个简单微分系统的某种定性关系，那有时就可用简单系统解的性态去确定复杂系统解的性态.例如Mironenko就建立两个微分系统的等价性、奇—偶等价性，ω—等价性等等。利用这些等价性，为我们研究一般时变微分系统解的定性性态提供了很大的方便。
　　本文在前人的研究基础上详细研究了时变Abel方程与自治方程之间的偶等价性，建立了它们偶等价的若干充要条件，确定了时变Abel方程与自治方程之间解的定性关系，并应用自治方程解的性态去确定时变Abel方程解的定性性态，得出了一些新的结果。

目录

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

§2．1 反射函数的定义及性质

§2．2 微分系统等价的定义及相关定理

§2．3 微分系统偶等价的定义及相关定理

第三章 三次多项式微分系统的中心条件

§3．1 有理分式方程的反射函数

§3．2 三次系统的中心条件

第四章 Abel方程的偶等价性

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的论文

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