基于样条曲线的保形问题研究

摘要

随着CAGD技术的不断发展，生成平面曲线曲面的技术越来越多，同时对生成的曲线曲面的质量要求也越来越高，例如，通过数据点进行拟合得到的曲线不但要保持曲线的光滑性，而且要保持某些定性的数学性质（如单调性、凸性等），而通常的插值方法要么不能完全满足上述要求，要么计算非常复杂，对其进行改进得到的拟插值方法则可较好地解决此类问题.此外，在实际应用中还常常遇到对切线多边形保形的一类问题.对此，T-B样条能够给出一种较好的解决方案.本文主要在基于均匀B样条的保形拟插值以及与给定切线多边形相切的四次 T-B样条曲线的构造方面进行了研究，主要工作如下：
　　1.给定函数()f x上的一系列数据点{(,())}ni i ix f x=，在三次均匀B样条的基础1上，构造了一类保形拟插值函数()()A f xw，即以函数()f x在三个相邻点处的函数值的线性组合作为控制顶点来拟合曲线，这样可以直接得出原问题的一个逼近，从而避免了求解大规模的方程组.同时给出了()()A f xw线性再生、保单调和保凸时应满足的条件.此外，还将单变量拟插值函数的相关结果推广到了双变量的情形.实例表明，()()A f xw可以通过适当地选择参数或者增加数据点来达到逼近效果.
　　2.在五次均匀B样条和()()A f xw的基础上，得到了一类保形拟插值函数()()B f xw，即以函数()f x在五个相邻点处的函数值的线性组合作为控制顶点来拟合曲线.同时也给出了()()B f xw二次再生、保单调和保凸时应满足的条件.同时，也很自然地将()()B f xw推广到双变量的情形.实例表明，()()B f xw的逼近效果比()()A f xw要好.
　　3.基于四次T-B样条曲线的性质，得到了与给定多边形相切的四次T-B样条曲线，其控制顶点可以由切线多边形的顶点直接产生.所构造的曲线段对切线多边形是保形的且3C连续，局部可以修改.实例表明，本文的算法是有效的.

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中文摘要

英文摘要

目录

第1章 绪论

1.1 研究背景

1.2 研究现状

1.3 本文的结构安排

第2章 预备知识

2.1 一元B样条基函数

2.2 张量积型的二元B样条

2.3 拟插值相关概念

第3章 基于三次均匀B样条的一类保形拟插值

3.1基于三次均匀B样条的一类保形拟插值的构造

3.2 基于双三次均匀B样条的一类保形拟插值的构造

第4章 基于五次均匀B样条的一类保形拟插值

4.1 基于五次均匀B样条的一类保形拟插值的构造

4.2 基于双五次均匀B样条的一类保形拟插值的构造

第5章 带有给定切线多边形的保形样条曲线

5.1 T-B样条曲线

5.2 与给定多边形相切的T-B样条曲线

5.3 算法描述

5.4 数值实验

第6章 总结与展望

6.1全文总结

6.2工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致 谢

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