浅水波方程的高效数值方法研究

摘要

本文的主要目的是研究浅水波方程的高效数值模拟方法。考虑到无源项的浅水波方程和双曲型守恒律的紧密联系，本文把求解双曲型守恒律的几类高效差分方法推广应用于求解无源项的浅水波方程。其主要内容包括以下几个方面：
　　1.将求解双曲型守恒律的高精度交错型无振荡中心差分格式推广应用于求解无源项的浅水波方程，得到一类求解一维浅水波方程的高精度交错型无振荡中心差分格式。之后，类似于双曲型守恒律高精度交错型中心差分格式的构造思想，构造得到双曲型守恒律的一类高精度非交错型中心差分格式，并使之应用于浅水波方程，得到一类求解一维浅水波方程的高精度非交错型无振荡中心差分格式。最后，通过数值实验，验证了一维浅水波方程的交错型中心差分格式及非交错型的中心差分格式在模拟一维溃坝问题等问题的有效性。
　　2.将求解双曲型守恒律的MmB格式推广应用于求解无源项的浅水波方程，通过对浅水波方程的通量进行分裂，然后使用MUSCL型插值重构对单元平均值进行重构，同时选取一些常用的限制器来保证重构过程不产生振荡，结合使用Runge-Kutta TVD时间离散方法得到了一类求解一、二维浅水波方程的高精度高分辨率的MmB格式。最后，通过一维溃坝、二维部分溃坝及二维圆坝等问题进行计算，验证了格式的有效性。
　　3.将求解包含间断解的可压缩流问题的离散GDQ方法推广应用于求解无源项的浅水波方程，根据浅水波方程问题的局部流动特征，结合使用Runge-Kutta TVD时间离散方法，构造了一类求解一、二维浅水波方程的高精度离散GDQ方法。最后，通过一些典型数值实验，验证了离散GDQ方法在求解浅水波方程问题的有效性。
　　4．将得到的三种求解无源项的浅水波方程的差分格式进行了比较，并提出了今后开展进一步工作的努力方向。

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第1章 绪 论

1.1选题的背景及意义

1.2国内外研究现状

1.3浅水波方程简介

1.4本文的主要工作

第2章 浅水波方程的中心差分格式

2.1引言

2.2一维浅水波方程的交错型中心差分格式

2.3一维浅水波方程的非交错型中心差分格式

2.4 小结

第3章 浅水波方程的MmB格式

3.1引言

3.2一维浅水波方程的MmB格式

3.3二维浅水波方程的MmB格式

3.4 小结

第4章 浅水波方程的GDQ格式

4.1引言

4.2一维浅水波方程的GDQ格式

4.3二维浅水波方程的GDQ格式

4.4小结

第5章 工作总结与展望

5.1 工作总结

5.2 展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢

附 录

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