SPH方法中的一类无穷次可微权函数

摘要

光滑粒子流体动力学（smoothed particle hydrodynamics, SPH）方法是一种完全无网格的粒子法，现如今已成功应用到科学和工程等众多领域中。光滑粒子流体动力学（SPH）方法的优点在于对流项直接通过区域内粒子的运动进行模拟，不需要网格，免去因网格生成而带来的麻烦，且可以消除自由界面上的数值发散，方便地模拟具有大变形的流动问题，成功避免了网格扭曲与网格重构带来的不便。
　　本文首先对光滑粒子流体动力学（SPH）方法的基本思想做了简介。其次介绍了SPH方法中几种比较常见的核函数。但这些核函数在高阶求导后光滑性不是很好，导致计算的精度降低。在本文中，我们在利用狄拉克函数对函数磨光的基础上，引进了一类新核函数，并称之为?-核函数。然后在此基础上给出了用?-核函数解决数值模拟的算例，并把它与其他核函数作了比较，验证其可用性。具体内容如下：
　　（1）论述了SPH方法的基本思想，说明SPH方法是一种完全无网格、自适应性强、稳定的Lagrange性质的方法。然后对SPH方法的基本方程做了重点阐述：首先介绍了运用SPH方法的两个步骤，一是函数的积分表示，二是粒子近似；其次介绍了区域内场函数各阶导数的积分表示，表明在SPH方法中，函数f( x)的导数在点x的值可转化为 f( x)与核函数W相应阶导数的卷积来确定；最后介绍了SPH公式中导数的离散技术，很好地说明了SPH方法的核近似和粒子近似过程中函数求导的方法。
　　（2）详细介绍了核函数的构造方法，并介绍了几种常见的核函数，比如高斯核函数、B-样条核函数。然后通过引进Heaviside函数，对磨光后的Heaviside函数H?求导后给出满足SPH方法权函数条件的新形式的权函数，我们称之为?-核函数，并记为W?(R)。同时介绍了Tikhonov正则化的技巧，为后面用SPH法求解离散后的线性方程组提供了良好理论基础。
　　（3）在上面的基础上比较了三种不同核函数在求解微分方程时的误差，得出?-核函数有更良好的光滑性，精度更高，从而有更好的实用价值。在二维空间下，我们试着用?-核函数去解椭圆方程，也同样验证其可用性。通过在一维、二维情况下数值解与解析解的比较分析，验证了?-核函数的可用性，并实现了从应用的角度对SPH数值算法的验证，为今后解决更复杂的流体力学问题奠定了基础。

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第一章 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 国内外研究现状

1.3 网格数值方法与无网格数值方法

1.4 本文研究的主要内容

第二章 SPH方法的基本方程

2.1 SPH方法综述

2.2 函数的积分表示

2.3 函数导数的积分表示

2.4 粒子近似

2.5 SPH公式中导数的离散技术

2.6 本章小结

第三章 一类新的核函数

3.1 核函数满足的条件

3.2 几种不同核函数

3.3 ε-核函数

3.4 Tikhonov正则化技巧

3.5 本章小结

第四章 数值算例

4.1 三种不同核函数在求解微分方程中的比较

4.2 在SPH方法中运用?-核函数求解二维椭圆方程

4.3 本章小结

第五章 总结与展望

5.1全文总结

5.2工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢

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