非齐次Nambu-Poisson流形和Jacobi代数的扩张

摘要

近年来，高阶Courant结构已经成为泊松几何与数学物理两大学科中比较热门的研究课题，它的理论研究和实际应用都具有非常重要的意义。在Nambu-Poisson流形和Jacobi代数的研究中，经常会涉及到高阶Courant结构的问题。许多学者针对齐次的Nambu-Poisson流形、Jacobi代数等问题进行了研究，并且取得了丰富的成果。然而很少有人研究关于非齐次Nambu-Poisson流形和Jacobi代数扩张的问题。因此本文主要研究了非齐次Nambu-Poisson流形和Jacobi代数的扩张等问题。主要内容如下：
　　第一章是绪论部分，主要介绍了高阶Courant结构的研究背景和历史进程，然后分析并总结了关于齐次的Nambu-Poisson流形、Jacobi代数等方面国内外学者的主要研究成果。
　　第二章是预备知识，分别介绍了齐次的Nambu-Poisson流形和莱布尼兹代数胚的定义与性质，以及莱布尼兹代数的阿贝尔扩张和Jacobi代数的定义，从而为下文的研究和实际应用夯实了理论基础。
　　第三章利用已知齐次的Nambu-Poisson结构的相关理论，讨论了具有非齐次Nambu-Poisson结构的流形的问题。首先给出了非齐次Nambu-Poisson结构、哈密顿向量场簇和非齐次Nambu泊松张量等基本概念。其次定义了括号算子{·,·}，在此基础上，给出并且证明了括号{·,·}和S-N括号[·,·]的关系。最后构造了一个与非齐次Nambu-Poisson流形有关的莱布尼兹代数胚，并进行证明。
　　第四章根据莱布尼兹代数阿贝尔扩张的定义及性质，提出李代数TM⊕C∞(M)阿贝尔扩张的相关问题。首先，给定一个线性映射，定义了在TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)上的括号，并证明了TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)为李代数，得到一个莱布尼兹代数的扩张。其次，利用莱布尼兹代数表示的定义，证明了Ω2(M)是李代数TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)的莱布尼兹代数表示。最后，定义了在TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)⊕Ω2(M)上的括号，并通过计算证明TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)⊕Ω2(M)为李代数，得到李代数TM⊕C∞(M)⊕Ω1(M)⊕Ω1(M)扩张的短正合序列。
　　第五章对全文的工作进行概括，并给出下一步需要研究的问题。

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英文摘要

目录

第一章 绪论

1.1 研究背景

1.2 国内外研究现状

1.3论文研究的主要内容

第二章 预备知识

2.1 Nambu-Poisson流形

2.2 莱布尼兹代数的定义及相关性质

2.3 Jacobi代数

2.4 结论

第三章 非齐次Nambu-Poisson流形

3.1非齐次Nambu-Poisson流形

3.2 非齐次Nambu-Poisson张量

3.3非齐次Nambu-Poisson流形与莱布尼兹代数胚的关系

3.4 结论

第四章Jacobi代数的扩张

4.1 1-阶Jacobi代数

4.2 2-阶Jacobi代数

4.3结论

第五章 总结与展望

5.1全文总结

5.2工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢

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