带间断系数二阶椭圆问题的非协调有限元的多水平和区域分解预处理方法

摘要

本文，在加性Schwarz预处理方法的一般理论框架下，讨论了几种非协调有限元离散带间断系数二阶椭圆问题的高效的求解方法.
　　 首先，基于最低阶的Crouzeix-Raviart非协调元离散问题，我们讨论了多水平预处理方法.由于定义在嵌套网格上的Crouzeix-Raviart元空间是非嵌套的，我们借助P1协调元子空间，定义了在加权L2范数下稳定的延拓算子来交换不同网格之间的信息.虽然预处理后系统的条件数依赖于系数的跳跃，但是，通过分析预处理后系统的特征值分布，我们发现除少数小特征值外，其余所有特征值都有正的关于系数跳跃和网格尺寸拟最优的上下界.因此，预处理后系统的有效条件数关于系数跳跃是Robust的，关于网格尺寸是拟最优的，且预处理共轭梯度法的渐进收敛率是1-C/|logh|3/2.
　　 其次，以分片双线性或三线性元空间作为粗空间，我们提出了P1非协调四边形元的两水平加性Schwarz预处理方法.与Crouzeix-Raviart元的多水平方法类似，预处理后问题的有效条件数与系数跳跃无关，且关于粗网格尺寸是拟最优的，也就是说，有效条件数的上界是O(1+log(H0/H))，其中H表示粗网格尺寸,H0表示系数间断子区域的直径.
　　 最后，我们考虑Mortar-型旋转Q1元方法.对于该元，我们仅讨论矩形和L-型区域，以及矩形网格剖分.由于mortar条件，直接对原问题设计与系数跳跃无关的高效算法是比较困难的，因此，我们先定义了一个与原问题等价的辅助问题.采用特殊的离散调和函数空间作为粗空间，我们先提出了几种解辅助问题的区域分解方法.然后将这些方法应用到原问题上，理论证明了这些方法都是拟最优的，也就是说，预处理后系统的条件数的上界是O((1+log(H/h))κ)，κ=2，3，与系数跳跃无关.
　　 数值试验验证了我们的理论结果.

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章引言

第2章预备知识

2.1 Sobolev空间

2.2有限元方法

2.3加性Schwarz方法的一般框架

2.4预处理共轭梯度方法

第3章 Crouzeix-Raviart元的多水平预处理方法

3.1加权L2投影

3.2多水平预处理子

3.3数值实验

第4章 P1非协调四边形元的加性Schwarz预处理方法

4.1一些技巧性引理

4.2两水平加性Schwarz预处理方法

4.2.1分片Q1元粗空间

4.3数值实验

第5章Mortar型旋转Q1元的区域分解预处理方法

5.1一个等价形式

5.2加性Schwarz预处理方法

5.3 Neumann-Neumann预处理方法

5.3.1 BDDC预处理方法

5.4数值实验

5.4.1加性Schwarz预处理方法

5.4.2 Neumann-Neumann预处理方法

第6章结论与展望

参考文献

在读期间发表的学术论文及研究成果

致谢