求解微分代数方程的Chebyshev微分矩阵方法

摘要

微分代数方程(DAEs)在许多科学和工程领域都有广泛的应用.多年来，寻找可靠的数值解法一直是计算数学方面的基本课题.本文在微分求积法(DQM)的基础上，采用Lagrange插值函数，以Chebyshev-Gauss-Lobatto点为节点构造了求解线性变系数DAEs的Chebyshev微分矩阵法(CDM)，针对Chebyshev微分矩阵法中Lagrange插值的数值震荡性，采用重心有理插值改进了原来的算法并利用Kronecker内积进一步推广到求解线性常系数偏微分代数方程(PDAEs).该方法的基本思想是通过所有网格点函数值的加权和近似表示某个节点的导数值，从而将求解DAEs或PDAEs问题转化为求解线性代数方程组的问题.求解对应的代数方程组可得所有网格点的函数值，再通过插值方法得到DAEs或PDAEs的近似解.本方法具有原理简单、计算量少、计算精度高等突出优点，数值实验验证了该方法的有效性.

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摘要

第一章引言

§1．1 问题背景

§1．2 本文的主要工作和结构

第二章预备知识

§2．1 DAEs的基本理论

§2．1．1 DAEs的可解性和指标

§2．1．2 半显式DAEs的降指标方法

§2．2微分求积法

§2．2．1 微分求积法的基本公式

§2．2．2插值基函数的选取

§2．2．3 节点分布公式的选取

§2．2．4边界条件的处理方法

第三章线性变系数微分代数方程

§3．1 方程描述

§3．2 Chebyshev微分矩阵

§3．3算法构造

§3．4数值算例及分析

第四章线性偏微分代数方程

§4．1 方程描述

§4．2 算法构造

§4．3数值算例及分析

第五章结论与展望

参考文献

致谢