向量SturM-Liouville算子的Dirichlet谱特征和反谱问题的研究

摘要

设Q是定义于[0，1]上平方可积的二阶实对称函数矩阵，LQ=-d2/dx2+Q（x）为二阶向量Sturm-Liouville算子，其定义域区间满足Dirichlet边条件.本文将P(o)schel J，Trubowitz E[24]关于标量Sturm-Liouville算子反谱理论的非线性分析方法推广到向量Sturm-Liouville算子Dirichlet谱特征和反谱理论，得到如下结果:
　　(1)设Y和Z是LQ的两个初值方程基本解，则Y和Z是λ和Q的连续可微映射，并给出其导数形式;
　　(2)二阶向量Sturm-Liouville算子的Dirichlet谱是一组单调增有下界无上界的无穷实值序列，并且简单特征值必须成对出现;
　　(3)将特征值看做是势函数空间的抽象函数，应用隐函数定理证明了每个特征值都是势函数空间的一个紧的实解析映射，并给出其偏导函数形式;
　　(4)应用非线性分析技术给出向量Sturm-Liouville算子的Dirichlet谱的渐近估计的一种新的推导方法，去掉了Chao-Liang Shen[29]在研究这一问题时特征值重数都是2这一条件，并将势函数空间改进到平方可积函数矩阵空间，结果更具一般性;
　　(5)最后用Hilbert空间正交理论和非线性分析两种方法证明了:若势函数关于x=1/2对称，且LQ的Dirichlet特征值重数都是2，那么一组Dirichlet谱能够唯一确定势函数.

目录

声明

摘要

1 引言

1．1 向量Sturm-Liouville算子的Dirichlet谱的性质

1．2 向量Sturm-Liouville算子反谱问题的结果

2 预备知识

2．1 相关记号

2．2 基本定义

2．3 相关引理

3 向量Sturm-Liouville算子基本解及其性质

3．1 初值问题基本解及其估计式

3．2 初值问题解的解析性质

4 Dirichlet谱特征

4．1 Dirichlet谱的分布

4．2 Dirichlet谱的解析性质

4．3 Dirichlet谱的渐近估计

4．4 特征值函数DQ(λ)的相关性质

5 一类特殊条件下的反谱问题

总结

致谢

参考文献