二维电磁场积分方程快速直接方法研究

摘要

当今计算机科学的迅猛发展，推动了大量课题对各类电磁数值算法进行广泛而深入的研究，使得复杂电磁场的求解成为可能。矩量法是当今分析电磁场数值计算问题的经典方法之一，利用矩量法对积分方程进行离散所得到的阻抗矩阵是一大型稠密稀疏矩阵，且该系数矩阵的非对角块具有秩亏特性。为了降低该稠密矩阵的计算量和存储量，基于矩量法开展快速算法的研究成为计算电磁学领域一个重要的新兴的研究方向。
　　本文首先研究了一种对矩阵进行多层压缩直接求逆的多层矩阵求逆计算方案。该求逆方案利用矩阵具有多层结构且非对角块的低秩特征，直接对矩阵进行操作划分，针对具有秩亏特性的非对角块矩阵进行低秩分解，进而得到矩阵A的求逆公式。再用递归方法将此结论应用于矩阵的多层结构，获得逆矩阵的多层压缩分解。
　　其次，在此基础上，本文研究了一种基于矩阵低秩分解的快速直接求逆算法。利用施密特正交化算法结合矩阵近似随机技术对传统的QR分解进行改进，并详细的描述了该算法的操作流程，计算了算法的复杂度。
　　最后，通过对两维圆柱体和方柱体散射数值试验，该算法的正确性和精确度得到进一步的验证。该算法的优点在于它基于矩阵分析理论，对矩阵进行纯代数计算，与格林函数的展开形式无关，并不完全依赖于积分方程及基函数本身，可以很容易结合到任意矩量法程序中。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 课题研究意义

1．2 研究背景与现状

1．2．1 研究背景

1．2．2 研究现状

1．3 内容安排与主要贡献

2 电磁场积分方程

2．1 积分方程和格林函数

2．2 理想导体的表面积分方程

2．2．1 电场场中的散射辐射公式

2．2．2 电场积分方程(EFIE)

2．2．3 磁场积分方程(MFIE)

2．2．4 混合场积分方程(CFIE)

3 矩量法概述

3．1 矩量法原理

3．2 非对角块矩阵的低秩特性

4 矩阵的近似压缩分解

4．1 概述

4．2 低秩矩阵的近似分解

4．2．1 符号说明

4．2．2 奇异值分解

4．2．3 QR分解

4．2．4 自适应交叉近似算法基本原理

4．2．5 矩阵近似的随机化算法

4．3 矩阵的低秩分解

4．3．1 Sherman-Morrison-Woodbury方程

4．3．2 矩阵的逆分解

4．3．3 单层快速直接求逆算法

4．4 矩阵逆的压缩分解

5 矩阵快速直接求逆算法

5．1 多层压缩原理

5．1．1 多层压缩算法的构造结构

5．1．2 多层压缩算法

5．1．3 复杂度分析

5．2 算法的改进

5．2．1 加速分解非对角块

5．2．2 改进算法的计算成本

6 数值算例

6．1 算例1：二维导体圆柱散射

6．2 算例2：二维导体方柱散射

6．3 算例3：二维不同尺寸圆柱体散射

7 总结和展望

致谢

参考文献