正则化参数后验选择的多尺度快速方法

摘要

本篇硕士论文主要研究第一类Fredholm积分方程的多尺度快速算法以及与之匹配的正则化参数后验选择方法.
　　第一章扼要地回顾了不适定问题,第一类Fredholm积分方程,几种重要的正则化方法、正则化参数选取策略,以及介绍了本文的研究背景以及主要工作.
　　第二章主要研究了基于多尺度Galerkin方法和多层扩充算法快速求解第一类Fredholm积分方程.描述了用多尺度Galerkin方法离散迭代Tikhonov正则化方程,采用多层扩充算法求解离散后的正则化方程,给出了近似解的先验误差估计.同时给出了与多尺度快速算法相匹配的后验参数选择策略,证明了由参数选择策略得到的参数,确保近似解的最优收敛率.最后通过数值实验证实了理论结果和算法的有效性.
　　第三章主要介绍了基于快速配置法求解第一类不适定Fredholm积分方程.描述了应用多尺度配置方法求解Richardson迭代正则化方程,运用矩阵压缩策略并给出了近似解的先验误差估计.同时给出了与多尺度快速配置算法相匹配的迭代停止准则,证明了由迭代停止准则得到的参数,可以确保近似解的最优收敛率.

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1 引言

1.1 不适定问题

1.2 第一类Fredholm积分方程

1.3 几种重要的正则化方法

1.4 正则化参数的选取策略

1.5 本论文的研究背景

1.6 本论文的主要工作

2 求解第一类Fredholm积分方程的多层扩充方法

2.1 引言

2.2 多层扩充方法

2.3 误差估计

2.4 后验参数选择策略

2.5 收敛性分析

2.6 数值例子

3 基于快速配置法解第一类Fredholm积分方程的Richardson迭代方法

3.1 引言

3.2 多尺度Collocation方法

3.3 误差估计

3.4 基于截断策略的偏差原理

4 结束语

参考文献

附录

致谢