用最优化方法求解大型矩阵特征值问题

摘要

本文首先对优化方法求解对称矩阵极端特征值的研究概况进行了综述，接着提出了求解大型稀疏对称矩阵极端特征值的截断牛顿法。在近似特征值接近矩阵最小特征值时瑞利商函数的海赛矩阵接近奇异，是坏条件的。为了解决这一问题本文提出了沿着与当前迭代向量垂直的子空间进行搜索的策略，在该策略下能够保证矩阵近似特征值充分接近最小特征值时，瑞利商函数的海赛矩阵是正定的，从而对截断牛顿法做了相应的改进。在此基础上，为了进一步加快特征值的收敛速度，用校正向量来扩展子空间，提出了子空间加速的截断牛顿法。对子空间加速的截断牛顿法进行了理论分析和数值试验。 本文还提出了同时求解对称矩阵多个极端特征值的改进块截断牛顿法和子空间加速块截断牛顿法，并进行了理论分析和数值试验。数值结果表明本文提出的方法对计算对称矩阵的单个和多个极端特征值是有效的。