解非对称多右端线性方程组的积混合块GMRES算法

摘要

多右端线性方程组在信息论、控制论和计量经济学等领域有广泛的应用。块GMRES算法是求解非对称多右端线性方程组最有效的迭代算法之一。在执行整体的块GMRES算法时，所需的计算量和存储量会随着迭代步数的增加而变得不可接受。为了克服这一困难，可以使用重新开始的迭代格式或者混合迭代的策略。在研究过程中发现，重新开始的块GMRES 算法能够在迭代过程中呈现出一种整体性质，被称为补足收敛性质。具体表现为，由不同迭代循环所形成的残量多项式在收敛方向上能够互相补足，使得残量的收敛达到一种平衡。本文基于块GMRES 算法的补足收敛性质提出一种新算法，称为积混合块GMRES 算法。 根据重新开始块GMRES 算法的补足收敛特性，不同的块GMRES 迭代循环所产生的残量偏向于不同的特征向量，使得其各次迭代循环相互区别。因此，在Richardson迭代过程中使用相邻迭代循环所形成的GMRES残量多项式往往会有不同的收敛效果。同时，如果以相邻迭代循环的残量多项式作乘积，形成的积多项式能够保证残量在所有特征向量方向上都有均匀、明显的下降。根据这一性质，积混合块GMRES算法以积多项式进行Richardson迭代，显著改善了残量的收敛效果。数值试验表明，新算法具有明显的优越性，是求解大型稀疏非对称多右端线性方程组的一种经济有效的算法。