一种有理插值样条曲面及其保凸性研究

摘要

本文是文献[38]的扩展和改进.首先研究了一种基于函数值的(3,2)1阶二元有理插值样条函数诸如边界插值、极限、解析和正则等性质,指出极限曲面的图形是双曲抛物面,揭示了参数对这种插值曲面的影响.其次推导出插值曲面凸性判定的充要条件,并根据该条件给出数值实例展示如何适当选取参数实现有理插值样条曲面的局部保凸性,验证了方法的有效性.
　　本文特别发现了,按文献[38]的方法,这种插值曲面凸性在某些点处是相对刚性的,对任意插值数据,无论怎样调整形状参数,也得不到保凸的有理插值样条曲面.这在应用上,特别是计算机辅助几何设计（CAGD）应用场合受到很大的限制.针对这一不足,本文提出了一种插值精度为O(k3)(其中k是矩形网格的尺度）新的有理样条曲面插值方法,改进了文献[38]方法的逼近精度O(k2),并且解决了全局保凸插值问题.这种(3,2)1阶有理样条曲面插值方法,仍具有简洁的分片显式表示,良好的几何性质,并在不改变插值条件的前提下,只需通过调整形状参数就可进行曲面的局部修改,能达到控制曲面形状的目的.并通过将Gauss曲率表示为分母是双8次,分子是双8次的有理函数,利用实系数多项式零点的理论,推导出了有理插值样条曲面保凸的几个充分条件.由此仅仅通过调整形状参数,可先验地给出插值曲面的全局凸性判定,给出的数值实例验证了本文的方法.

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图表清单

第一章 绪论

1.1 一种有理样条曲面插值方法的兴起

1.2 问题的提出

1.3 本文主要工作及创新点

第二章 一种有理插值样条曲面及凸性讨论

2.1 一种有理插值样条曲面定义

2.2 有理插值样条函数的性质

2.3 曲面的局部保凸性及存在的问题

2.4 全局保凸性分析

第三章 一种高精度有理插值样条曲面及性质

3.1有理插值样条曲面方程推导

3.2 插值函数光滑性条件及其性质讨论

3.3误差估计

第四章 一种高精度有理插值样条曲面的凸性判定

4.1 Gauss曲率的计算与表示进一步将 , ( , )i jP x y 改写为如下矩阵形式:

4.2 凸性判定的几个充分条件

4.3 数值实例

第五章 结论

参考文献

致谢

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