弱非共振条件下系统不变环面的保持性

摘要

KAM理论自建立以来，在量子力学、天体力学的等领域都发挥着重要作用，是20世纪最伟大的数学成就之一.本文主要致力于利用KAM理论的相关知识来研究弱非共振条件下一些系统不变环面的保持性问题. 文中首先讨论了环面上向量场的给定频率的不变环面的保持性，通过引入并调整外部参数来消除频率的漂移以及利用多项式结构去截断的技巧，证明了在充分小的扰动下，如果频率映射具有非零Brouwer拓扑度，那么那些频率满足Brjuno-Rüssmann非共振条件的不变环面依然保持.接着利用了相同的方法研究了带拟周期扰动的哈密顿系统给定频率的不变环面的保持性问题，证明了那些频率满足Brjuno-Rüssmann非共振条件且具有非零拓扑度的不变环面依然保持.最后针对带拟周期扰动的哈密顿系统继续讨论，以往对于该系统的研究主要集中在Rüssmann非退化条件的情况，文中考虑经典的Kolmogorov非退化条件情形，直接将频率作为独立参量，并且利用逼近函数的相关性质证明了频率满足弱非共振条件时，大多数不变环面在小扰动下保持.

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第一章 绪论

第二章 向量场给定频率的不变环面

第三章 带拟周期扰动的哈密顿系统不变环面的保持性

第四章 非退化条件下带拟周期扰动的哈密顿

第五章 总结与展望

参考文献

致 谢

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