一类慢时变非线性动力系统中的混合模式振动及其分岔机制

摘要

多时间尺度问题具有极其广泛的工程背景，涉及到科学和工程技术的各个领域，是非线性科学的前沿研究课题和热点问题之一。本文考虑一类特殊的多时间尺度非线性系统，即慢时变下修正的Van der Pol-Duffing电路系统（MADVP），深入探讨因慢时变的存在而使系统产生的多时间尺度复杂动力学行为，重点揭示了其中的多时间尺度混合模式振动及其产生机理；同时，探讨了慢变激励的振幅和频率的变化对混合模式振动的影响，分析了不同类型的混合模式振动之间演化的动力学机理，并对混合模式振动进行了分类。主要内容如下：
　　首先，探讨了单慢变外激励下的MADVP系统的复杂动力学行为，揭示了由于慢变外激励的存在而使系统产生的两时间尺度混合模式振动及其动力学机理。当快子系统的平衡点失稳时，快子系统可以呈现出两种不同的动力学特性，即所谓的“单稳态”和“双稳态”。探讨了与“单稳态”和“双稳态”相关的混合模式振动：“单稳态”即平衡点吸引子失稳时，快子系统只有一个吸引子，系统的轨线只能向唯一的吸引子进行转迁。而“双稳态”意味着平衡点吸引子失稳时，快子系统有两个共存的吸引子，系统的轨线可以向极限环吸引子或平衡点吸引子转迁。此时，系统轨线的转迁方式取决于吸引子失稳时系统的轨线所处的位置。得到了三类不同类型的混合模式振动，即对称式“delayed supHopf/delayed supHopf”型，对称式“subHopf/fold-cycle”型，以及对称式“subHopf/subHopf”型。
　　其次，针对于含双慢变外激励下的非线性系统，介绍了研究其混合模式振动的一种有效方法。当双慢变外激励的频率比满足一定的条件时，可以引入一个新的慢变量，使得双慢变外激励都能由该慢变量表示，且其表达方式确定，从而将该类含双慢变外激励系统转化为含单慢变量的快慢系统。之后，通过对快慢系统中快子系统的动力学分析，揭示了含双慢变激励的非线性系统的混合模式振动机理。本文以含双慢变外激励的MADVP系统为例，验证了该方法的有效性。从不同共振模式以及不同激励幅值两个角度分析了含双慢变外激励MADVP系统混合模式振动行为及其机理。
　　最后，对硕士期间的研究工作做了阶段性的总结，指出了工作中的几点不足之处，针对于此作者阅读相关文献，了解最新研究动态，以期今后能进一步完善该方向的研究内容。

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1绪 论

1.1引言

1.2国内外研究背景与现状

1.3 混合模式振动

1.4选题意义和本文结构

2非线性动力学基础知识

2.1基本概念

2.2稳定性和路茨-胡维茨准则

2.3本文所涉及的主要分岔类型简介

3 单慢时变MADVP系统的混合模式振动

3.1引言

3.2数学模型

3.3研究方法

3.4混合模式振动

3.5分岔分析

3.6混合模式振动的动力学机理

3.7本章结论

4双慢时变MADVP系统的混合模式振动

4.1 引言

4.2 研究方法

4.3 不同共振模式下的混合模式振动

4.4 不同激励幅值下的混合模式振动

4.5 本章结论

5总结与展望

5.1本文研究总结

5.2今后研究工作展望

参考文献

致谢

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