同伦分析法求解非线性偏微分方程

摘要

在上世纪90年代，基于同伦思想在拓扑理论中的应用，廖世俊首次提出了同伦分析法(HAM)。相对于传统解析近似方法，同伦分析法不仅不受小参数限制，还能够自由选择不同的基函数去表示非线性问题的解。此外，非线性问题级数解的收敛区域和收敛速度也可以通过非零辅助参数h来调节。因此，同伦分析法是求解非线性问题的重要方法。
　　本文详细论述了同伦分析法的基本思想，利用同伦分析法给出了Ostrovsky方程、KPP方程和带初值的STO方程的近似解析解。在求解Ostrovsky方程和KPP方程的过程中，通过行波变换把偏微分方程转变成常微分方程的形式，在此基础上求出方程的近似解。在求解带初值的STO方程时，选择不同的基函数，得到了方程不同形式的近似解。本文分别求出了非线性方程的近似周期解和近似孤立波解，同时借助Mathematica软件将所得的近似解析解进行误差分析，研究结果充分说明了同伦分析法的适用性和优越性。

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1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 本文主要内容

2 同伦分析法

2.1 同伦概念简介

2.2 同伦分析法基本思想

2.2.1零阶形变方程

2.2.2高阶形变方程

2.2.3 基本原则

2.2.4 收敛控制参数的选取

3 Ostrovsky方程的同伦近似解

3.1 Ostrovsky方程的周期解

3.2 Ostrovsky方程的孤立波解

3.3 实例分析

3.3.1 周期解

3.3.2 孤立波解

3.4 小结

4 Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的同伦近似解

4.1 同伦分析解

4.2 实例分析

4.3 小结

5 带初值的Sharma-Tasso-Olver方程的同伦近似解

5.1 同伦分析解

5.2 结果分析

6 总结和展望

参考文献

致谢

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