基于Theta函数恒等式的分拆函数同余性质的研究

摘要

整数分拆理论是当前研究的热点问题之一，在多个领域有着广泛的应用，如装箱问题、货币兑换等优化问题。这个课题吸引了包括美国科学院院士 Geogre E. Andrews教授在内的众多知名学者的研究兴趣。 本文主要利用 theta 函数恒等式研究了上划分拆函数、3-重分拆函数、t 正则分拆函数、t核分拆函数和偶数部分不同的双分拆函数这几类分拆函数的性质。这几类分拆函数与数学物理、代数表示论和组合数学密切相关。本文研究了这几类分拆函数的算术性质，建立了新的关于这几类分拆函数的无穷族同余关系。同时还刻画了几类eta函数商的傅里叶级数展开式系数的性质，推广了Kenneth S. Williams教授的结果。本文主要安排如下： 在第一、二章中，简要介绍了整数分拆理论和 theta 函数恒等式的背景知识，并介绍了相关学者在上划分拆函数、k-重分拆函数、t 正则分拆函数、t 核分拆函数、偶部分不同的双分拆函数等分拆函数的性质方面取得的研究成果。 在第三章中，建立了新的theta函数恒等式，给出了新的关于上划分拆函数的分块公式，证明了5个新的关于上划分拆函数模5的同余关系，解决了Michael D. Hirschhorn提出的问题。 在第四章中，利用theta函数恒等式和二次剩余理论刻画了11、13和17正则分拆函数的奇偶性，建立了关于 t 正则分拆函数模 2 的无穷族同余关系，推广了James A. Sellers教授的成果。 在第五章中，利用theta函数恒等式研究了3-重分拆函数的算术性质，建立了一些模3的高次幂的同余关系，相关的研究成果推广了Nayandeep D. Baruah教授的成果。 在第六章中，研究了偶数部分不同的双分拆函数的算术性质。Dai建立了关于偶数部分不同的双分拆函数模2、4和8的同余关系。在本章中，建立了某些theta函数的 2 分块和 3 分块公式，并利用这些分块公式研究了偶数部分不同的双分拆函数模16、32和64的同余关系。研究成果推广了Dai的研究成果。 在第七章中，利用模方程理论刻画15核分拆函数的奇偶性。首先将模方程理论和theta函数理论联系起来，将某些模方程转化为theta函数恒等式，然后利用这些theta函数恒等式刻画了15核分拆函数的奇偶性，建立了15核分拆函数模2的无穷族同余关系。 在第八章中，研究了几类eta函数商的傅里叶展开式系数的性质。利用theta函数恒等式建立了这几类eta函数商的傅里叶级数展开式的系数的递归关系，并刻画了这些系数的零值分布情况。本章不但给出了Kenneth S. Williams教授的结果的新的证明，而且进一步推广了他的结论。

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