基于积分方程的几类不适定问题的正则化方法和数值解

摘要

本文考虑了三个典型不适定问题的基于积分方程的正则化求解方法，分别是:一元函数高阶导数的数值计算问题、核磁共振成像中调和Bz算法在输入数据有误差时反演结果的稳定性和误差估计、有界区域上的逆时热传导问题.这三个不适定问题的共同特点就是问题的解都满足一个积分方程.具体而言，第一个问题和第三个问题都满足一个第一类的线性积分方程，而第二个问题满足一个第二类的非线性积分方程，但积分项中由Bz构成的核函数的数值计算是不适定的.本文由五个部分组成.
　　 第一章，介绍不适定问题和儿种常用正则化方法及其正则化参数选取的基本理论以及已有的结论.概述了本文研究的三类不适定问题国内外已有的研究现状，并在此基础上阐明了本文研究的目的、主要内容和创新点.
　　 第二章，研究一元函数的二阶导数具有有限个跳跃间断点时，二阶导数的数值计算问题.这是对计算充分光滑函数的二阶导数已有工作的本质推广.借助于二阶导数算子的基本解，将求一元函数二阶导数的问题转化为一个第一类线性积分方程的求解问题.对此不适定的问题，考虑到二阶导数是分片连续的，本文采用全变分正则化方法求其正则化解，给出了该方法的收敛性分析，并利用Bregman距离得到了先验条件下收敛速度的估计.另外我们还证明了若一元函数的二阶导数有脉冲奇性，则利用本章所给方法计算的二阶导数的正则化解的L2范数会爆破.这一结论为确定非光滑函数的不可导点提供了理论依据.最后通过数值算例说明了该方法的有效性和数值稳定性.
　　 第三章，考虑核磁共振成像(MREIT)技术中的调和Bz算法在输入数据有扰动时的稳定性和误差估计.调和Bz算法的基本思想是基于散度型椭圆方程并利用介质内部磁场的一个分量Bz的信息来重建导电率.该算法借助于二维拉普拉斯方程的基本解，得出导电率满足一个第二类非线性积分方程（该积分方程中核函数需要计算Bz的Laplace运算），进而用迭代算法求其近似解.调和Bz算法虽然在最近十年来得到了快速的发展，而且从数值模拟和模型试验结果来看，可以得到物体高分辨率、高精确度的导电率，但其严格的理论分析却非常少.已有的结果是在精确的输入数据下，该算法的误差估计及其收敛性的严格证明.但在输入数据有误差时迭代算法的误差估计还未考虑，这个问题是和算法的收敛性紧密相连的.在本章中我们假设:1）由扰动输入数据计算其Laplace运算的误差是可计算的（该误差依赖于采取的正则化方法）;2)待求的导电率σ*满足||▽σ*||C1(Ω）≤(ε)，其中(ε)是充分小的常数.在这样的假设条件下，我们讨论了输入数据有误差时，调和Bz算法的误差估计.
　　 第四章，研究有界区域上的逆时热传导问题，给出了两种正则化方法:1）转化为第一类Fredholm积分方程的方法.首先由热传导过程的特征函数系统构造了一个积分算子，将逆时热传导问题转化为一个第一类的线性Fredholm积分方程求解问题.对此问题，我们考虑了初始温度不连续情形的数值求解，这个问题的研究还在初始阶段.和第二章一样利用全变分正则化方法进行求解，给出了该方法的收敛性分析，并借助于Bregman距离得到了收敛速度的估计.和第二章相比，这里的积分核函数具有更高的光滑性，因而求解更为困难.文中给出的数值结果验证了本文关于收敛速度的估计.2)多参数终值数据拟合法.该方法是将扰动的终值数据按热传导过程的有限项特征函数系展开，这里展开式的项数和有限项展开的误差看成两个正则化参数.利用近似展开的系数，我们可以显式构造出逆时问题的正则化解.在初值有界的先验假设下，我们得到了正则化解关于所有时刻收敛率的一致估计.最后通过数值算例说明了该方法的有效性和数值稳定性.此方法的优点在于:首先，任意时刻的温度分布具有统一的显式表达式;其次，此方法所有的不适定性都集中在终值数据的拟合上，本质上仅是对终值数据进行正则化，因此计算量大为降低;最后，对求解区域的维数、热传导问题边值条件的类型没有严格的限制.
　　 最后，在第五章我们对全文作了简单的总结，并对下一步工作进行了展望.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 反问题与不适定问题

§1．2 不适定问题的正则化

§1．2．1 正则化理论

§1．2．2 Tikhonov正则化方法

§1．2．3 全变分正则化方法

§1．2．4 正则化参数的选取

§1．3 三个应用领域中反问题的研究现状

§1．4 本文的主要工作

第二章 数值微分

§2．1 引言

§2．2 Bregman距离及其应用

§2．3 全变差正则化计算二阶导数及分析

§2．3．1 全变差正则化方法

§2．3．2 收敛性及收敛率分析

§2．4 有限元离散及其收敛性

§2．5 二阶导数有脉冲奇性时BV正则化解的性质

§2．6 固定点迭代计算极小元

§2．7 数值算例

第三章 核磁共振成像

§3．1 MREIT技术的发展

§3．2 MREIT的正问题及反问题

§3．3 调和Bz算法

§3．4 误差数据下调和Bz算法的误差估计

第四章 逆时热传导问题

§4．1 引言

§4．2 第一类Fredholm积分方程法

§4．2．1 积分算子的构造

§4．2．2 收敛速度的估计

§4．2．3 数值算例

§4．3 多参数终值数据拟合法

§4．3．1 正则化解的构造

§4．3．2 正则化解的收敛性分析

§4．3．3 特征系统的计算误差对反演结果的影响

§4．3．4 数值算例

第五章 总结与展望

参考文献

攻读博士学位期间撰写或发表论文情况

致谢