复形范畴中的相对同调

摘要

复形范畴中的同调理论是由Cartan和Eilenberg于20世纪50年代引入的.它受到了众多学者的关注.模范畴中的Gorenstein同调理论起源于Auslander 1967年关于G-维数的工作.20世纪90年代，Enochs建立了一般环上的Gorenstein同调理论，取得了丰硕的成果.由于模的复形可以看成模的推广，因而在复形范畴中也可以开展相对同调理论的研究.尽管复形范畴具有许多与模范畴类似的性质，但是由模范畴向复形范畴扩展的过程中，很多问题会变的更加复杂. 本论文以模的复形为研究对象，把模范畴中的相对同调理论推广或应用到复形范畴中，进一步丰富现有的相对同调理论. 第二章引入了W-Gorenstein复形的概念，统一了Gorenstein投射（内射）复形，GC-投射（内射）复形的定义.证明了X是一个W-Gorenstein复形当且仅当对于任意的n∈Z，Xn是一个W-Gorenstein R-模.推广了Enochs，Liu和Yang等关于Gorenstein投射（内射）复形，GC-投射（内射）复形的相应结论. 第三章中首先定义了Gorenstein FP-内射复形，讨论了它与Gorenstein平坦复形之间的关系，并且在n-FC环上证明了FP-内射维数小于等于n的复形类和GorensteinFP-内射复形类构成一个完备遗传余挠理论.然后，利用平坦余挠复形以及Hom(-，-)和-(×)-的导出函子给出了Gorenstein平坦复形的新刻画.最后证明了在n-FC环上，每个复形都有一个Gorenstein平坦预包络. 第四章首先引入了相关于半对偶化模C的y-Gorenstein内射模（简记为GyC-内射模）的概念，其中y为给定的包含所有内射模的R-模类.证明了Auslander类的子类gIyC（R）≤n∩ AC（R），和Bass类的子类gIy（R）≤n∩BC（R）之间存在Foxby等价.然后，定义了相关于半对偶化模C的y-Gorenstein内射复形（简记为GyC-内射复形）,从而将Gorenstein内射复形， GC-内射复形和Gorenstein FP-内射复形的概念统一在同一框架之下.证明了X是GyC-内射复形当且仅当每个Xn都是GyC-内射R-模，且对于任意的E∈(y)C，Ext1(E，X)=0当且仅当每个Xn都是GyC-内射R-模，且对于任意的E∈(y)C，Hom(E，X)正合.推广了Enochs和Yang等的结果.对偶地，讨论了相关于半对偶化模C的x-Gorenstein投射模与复形，得到了相应的结论. 第五章定义了相关于半对偶化模C的Cartan-Eilenberg y-Gorenstein内射复形（简记为C-E GyC-内射复形）.证明了复形X是C-E GyC-内射复形当且仅当X，Z(X)∈C（gIyC）当且仅当B(X)，H(X)∈C(gIyC).这个定理推广了Enochs关于C-E Gorenstein内射复形的结论.给出了复形的相关于半对偶化模C的C-E y-Gorenstein内射维数的等价刻画.此外，我们还讨论了相关于半对偶化模C的C-E x-Gorenstein投射复形，得到了对偶的结果.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 课题的研究背景和发展概况

§1．2 主要研究内容及结论

§1．3 基本概念

§1．4 符号说明

第二章 W-Gorenstein复形

§2．1 W-复形的基本性质

§2．2 W-Gorenstein复形

§2．3 本章小结

第三章 Gorenstein FP-内射复形和Gorenstein平坦复形

§3．1 Gorenstein FP-内射复形

§3．2 Gorenstein平坦复形

§3．3 本章小结

第四章 相关于半对偶化模C的y-Gorenstein内射复形

§4．1 Gyc-内射模

§4．2 Gyc-内射复形

§4．3 Gxc-投射模与复形

§4．4 本章小结

第五章 相关于半对偶化模C的Cartan-Eilenberg y-Gorenstein内射复形

§5．1 C-E Gyc-内射复形

§5．2 复形的C-E Gyc-内射维数

§5．3 C-E Gxc-投射复形

§5．4 本章小结

参考文献

附录一 攻博期间完成论文列表

致谢