一类吸引-排斥趋化模型解的整体存在性及渐近性态

摘要

自然界中的任何一个物种都不是孤立存在的，外界环境中的变化或多或少都会对其产生影响.对于微生物或者细胞而言，能够感受到外界刺激并作出相应的趋利避害的反应，从而更好地适应环境，这种特性在生物学中称为趋化性.Keller-Segel方程组是用于描述生物趋化现象的一个重要模型，对于揭示某些生物现象的本质具有实际意义.
　　本文主要研究包含一个物种，两种作用相反的化学物质的趋化模型（或简称为吸引-排斥趋化模型）在全空间R2上的Cauchy问题{ut=△u-▽·(xu▽v)+▽·(ξu▽w), x∈R2, t＞0,vt=△v+αu-βv, x∈R2, t＞0,wt=△w+γu-δw， x∈R2， t＞0，u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)，w(x，0)=w0(x)，x∈R2，其中β，δ≥0，x,ξ，α，γ为正实数.文中借助算子半群的Lp-Lq时空估计和不动点理论，证明了对于小初值（u0，v0，w0），方程存在唯一的整体解.在此基础上，进一步给出解的长时间渐近性态.具体内容安排如下:
　　第一章综述了生物趋化模型的研究背景和发展现状.
　　第二章简要介绍偏微分方程中的一些基本概念.
　　第三章主要研究吸引-排斥趋化模型Cauchy问题解的整体存在性.首先，对于小初值，借助不动点理论以及算子半群的Lp-Lq估计，证明方程存在唯一的整体解.其次，通过Bootstrap讨论，提高了解的正则性，将解的Lp范数可积性由p∈(4/3，2)提高到p∈（4/3，∞].最后，证明了解对小初值具有连续依赖性.
　　第四章主要研究当β=δ=0时，吸引-排斥趋化模型解的渐近性态.对于适当的初值，借助方程的自相似解，并结合第三章中得到的关于解对初值的连续依赖性结论，获得了解的长时间渐近性态.具体结论如下:当β=δ=0时，如果初值（u0，v0，w0）满足(|x|2+1)u0∈L1(R2)，▽v0，▽w0∈L1(R2)，则有limt→∞t1-1/q‖u(t)-(u)(t)‖q=‖tu(√t·，t)-(u)(·，1)‖q=0对任意的q＞4/3均成立，其中(u)表示β=δ=0时方程的自相似解.
　　第五章主要研究当β＞0，δ＞0时，吸引-排斥趋化模型解的渐近性态.借助热核的相关估计，得到解的渐近性态.具体结论如下:当β＞0，δ＞0时，如果初值(u0，v0，w0)满足(u0，v0，w0)∈(L1(R2))3，则有limt→∞ t1-1/q‖u(·，t)-MuGt(·)‖q=0， limt→∞ t1-1/q‖v(·,t)-α/βMuGt(·)‖q=0，limt→∞t1-1/q‖w(·，t)-γ/δMuGt(·)‖q=0对任意的q＞4/3均成立，其中Mu:=∫R2u0dy，Gt(·)代表高斯热核.

目录

声明

摘要

第一章 前言

§1．1 趋化模型的研究背景和发展现状

§1．2 本文的主要工作

第二章 预备知识

§2．1 基本概念

第三章 吸引-排斥趋化模型解的整体存在性

§3．1 基本假设和主要结果

§3．2 主要结果的证明

第四章 β=δ=0，吸引-排斥趋化模型解的渐近性态

§4．1 基本假设和主要结果

§4．2 主要结果的证明

第五章 β>0，δ>0，吸引-排斥趋化模型解的渐近性态

§5．1 主要结果

§5．2 主要结果的证明

第六章 结束语

§6．1 本文结论

§6．2 课题展望

参考文献

致谢