关于黎曼流形中调和形式的消失定理

摘要

本文主要研究了黎曼流形中的非平凡调和l-形式的存在性定理，总共分为四个部分． 首先，研究了浸入到双曲空间中的子流形上L2调和l-形式的消失定理，在给定不等式成立的情况下，如果第一特征值满足一定的条件，则不存在非平凡的L2调和l-形式，并且可以得到相应的Liouville定理． 其次，分析了浸入到球面Sn+m中的子流形上p-调和l-形式的消失定理．运用Bochner-Weitzenb(o)ck公式、Kato不等式、Sobo/ev不等式及Ricci曲率的下界估计，证明了全曲率有限的子流形上LQ(Q≥2)范数有限的p-调和l-形式空间的维数是有限的，此结果可以看作是Han[16]及Zhu-Fang[41,42]结果的推广，进一步，在全曲率充分小的条件下，证得完备非紧子流形上所有LQ(Q≥2)范数有限的p-调和l-形式必是平凡的． 再次，探讨了满足加权Poincaré不等式的黎曼流形中的p-调和l-形式，并得到结论：如果Weitzenb(o)ck曲率算子和Laplacian算子的第一特征值满足一定的条件，则不存在Lp范数有限的p-调和l(2≤l≤n-2)-形式，推广了之前Dung[9]和Vieira[36]的结论.另外，还推出在欧氏空间中的超稳定子流形上，不存在非平凡的p-调和1-形式. 最后，将Vieira的方法应用到光滑度量空间上，在曲率算子有下界和第一特征值满足一定条件的假设下，证明了关于光滑度量空间中L2f调和1-形式的消失定理和相应的Liouville定理.

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