一类二阶非线性阻尼q-对称差分方程的近似解及振动性

摘要

自二十世纪九十年代以来，随着q-微积分在宇宙弦理论、黑洞及共形量子力学等物理学领域研究方面的广泛应用，q-对称微积分在自然科学中的作用激起了诸多学者的兴趣.目前，q-对称微积分已经在量子力学、Tsallis微观统计力学、热力统计学及非线性物理系统等领域的研究中占据重要角色.本论文致力于一类二阶非线性阻尼q-对称差分方程近似解的求解及方程振动性的研究.
　　首先，本论文介绍了q-对称差分方程的背景和意义，阐述了截止目前国肉外专家及学者在q-微积分及q-对称微积分领域已有的研究成果，并且给出了本论文所要研究的问题.
　　其次，本论文研究了一类二阶非线性阻尼q-对称差分方程:(d)2qx+(2γ+(∈)γ1x)(d)qx+Ω2x+x2=0.(0.1)的近似解求解问题，其中γ和γ1为线性阻尼参数，(∈)是非线性参数，Ω是欠阻尼运动参数.主要在q-对称差分算子和q-对称积分算子的基本概念和性质基础上利用微分变换方法将所研究方程转化为代数方程:X（k+2）+2γX(k+1)+εγ1 kΣi=0 X(k-i)X(i+1)H(k-i，i)+Ω2X(k)+k∑i=0 X(k-i)X(i)H（k-i，i)=0，其中k=0，1，2,3,….然后通过迭代法找到原方程的近似解.除此外，本论文还利用时标上函数的泰勒准则，即:设n∈N，假设实值函数f在qN上n阶连续可微，α，t∈qN.那么关于函数f在x=α处可表示为:f(t)=n-1∑k=0hk(t，α)(d)kqf(α)+∫ρn-1(t)α hn-1（t，σ（(Τ)））(d)nqf（(Τ)）(d)qΤ.(0.2)找出原方程的数值解，从而进一步验证了近似解的精确性.
　　最后，本论文以验证解有任意大的零点为整体判断思路利用核函数Ψ(t，s，l)和算子Aρ[;l，t]研究了二阶非线性阻尼q-对称差分方程的振动性，给出了判断一类二阶非线性阻尼q-对称差分方程(d)2qx+(2γ+(∈)1x)(d)qx(q-1t)+Ω2x+x2=0.(0.3)振动性的判断准则:假设下述条件:记εγ1(d)x(q-1t)+Ω2x(t)+x2(t)=f(t,x(t),dqx(q-1t)),且(∈)γ1x(d)qx（q-1t）+Ω2x+x2≥μq(t）|x(t)|，成立，若对每一个l≥t0，存在非减函数ρ(s):[Tq，∞)→(0，∞)，且其一阶q-对称差商，Ψ∈Z,正数M使得lim sup t→∞ Aρ[μq(t)/K0q-[4γ2（K0q）2+(K1ψρ(qs)/ρ(s)+K2(d)qρ(s)/ρ(s))M];l,t]＞0成立，其中Aρ，ψ为核函数,则方程(3)是振动的.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 课题的背景及意义

1．2 国内外研究现状

第二章 二阶非线性阻尼q-对称差分方程的近似解

2．1 q-对称差分算子的基本知识

2．2 定义q-对称多项式

2．3 方程的近似解

2．4 方程的数值解

第三章 二阶非线性阻尼q-对称差分方程的近似解

3．1 基础知识

3．2 主要结果

第四章 总结

参考文献

攻读硕士期间的研究成果

致谢