诺特赋值环上的Gröbner基

摘要

Gr(o)bner基方法及理论的发展至今为止也不过四十余年，但它在许多领域都有着广泛的应用.譬如，代数方程组的求解、计算代数数论、图论问题、计算代数几何与交换代数、代数流形的分解、密码学和编码学、图像处理等.Grobner基的出现，受到了数学界、计算机科学界、系统科学界，特别是（计算）代数、代数几何等领域研究人员的重视，并使其理论与应用方面都得到了迅速发展.目前，这方面的研究已有大量的文章与专著，如T.Becker和V.Weispfenning在[8]、DavidCox，John Little和Donal O'Shea在[11]中都比较详细地介绍了Gr(o)bner基理论.另外，有很多学者研究了其它代数结构上的Gr(o)bner基、动态Gr(o)bner基、综合Gr(o)bner基或强Gr(o)bner基（如Byrne[10]，Kacem[15]，Kosir[16]，Norton[21,22]，Pauer[23]，Weispfenning[28，29]，Yengui[30]等）或研究某些特定环上Gr(o)bner基的更有效的计算方法(如Faugere[12]，Mnif[18]，Montes[19])，也有很多学者研究了它的应用.譬如，时洪波教授在[27]中运用Gr(o)bner基理论研究了投射分解的图表示，其他的应用可见Byrne[1O]，Norton[20]等.本文主要研究了诺特赋值环上的Gr(o)bner基及其算法.全文共分四章.
　　 第一章是Gr(o)bner基的产生与发展.本章主要介绍了Gr(o)bner基方法及理论的产生和发展状况，以及近期的理论研究成果和应用.
　　 第二章是抽象代数基础.本章主要介绍了本文中所要用到的一些定义、定理等，为我们介绍下一章作准备.
　　 第三章是本文的主体部分.本章主要研究了诺特赋值环上多项式理想的Gr(o)bner基的性质，并拓展了极小Gr(o)bner基和约化Gr(o)bner基的概念.进一步证明了约化Gr(o)bner基的存在性及当其首项系数为单位元时的唯一性.最后给出了求极小Gr(o)bner基和约化Gr(o)bner基的算法.
　　 第四章是Gr(o)bner基理论的应用.本章主要介绍了运用Gr(o)bner基理论解决诺特赋值环上多项式理想的从属问题，以及它在阿丁链环上循环码的应用.

目录

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摘要

第一章 Gr?bner基的产生与发展

1.1 Gr?bner基的产生

1.2 Gr?bner基的发展

第二章 抽象代数基础

第三章 诺特赋值环上的Gr?bner基及其性质

3.1 项序

3.2 诺特赋值环上的除法算法

3.3 诺特赋值环上的Gr?bner基及其性质

3.4 算法及例子

第四章 Gr?bner基理论的应用

4.1 计算多项式理想论

4.2 Gr?bner基在编码理论上的应用

参考文献

攻读硕士期间发表的学术论文

后记