马氏链在复杂网络拓扑结构中的应用

摘要

近年来，关于复杂网络的研究受到国内外多个领域学者的广泛关注。复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络，是具有复杂拓扑结构和动力行为的大规模网络。许多与我们的日常生活和科研活动密切相关的自然和人造的网络都属于复杂网络。例如，Internet网络，合作网络，生物网络，电力网络等。因此我们有必要深入研究和更深刻的理解复杂网络的性质，将复杂网络研究的理论成果应用到具体问题当中，以便设计出具有更好特性的实际网络为我们服务。本文的主要工作是通过网络的生成机制去建立网络模型，用以刻画真实网络的演化行为以及寻找求解网络拓扑结构统计特征的严格方法。本文主要以概率论、图论和统计物理为工具，给出了严格求解网络度分布，网络度相关性以及其它一些重要拓扑结构的马氏链方法，这方面的研究无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。
　　 本文将主要的研究工作分为四个章节撰写。
　　 第一章主要介绍了国内外复杂网络的研究背景、研究现状、研究意义及本文所作的主要工作等。
　　 第二章主要对复杂网络进行了概括，总结了复杂网络中的一些重要特征统计量包括度分布、相关性、聚类系数、平均路径长度和正负匹配度等。其次介绍了复杂网络中常用的研究方法，譬如平均场方法、率方程方法、主方程方法、鞅方法及马氏链方法。
　　 第三章主要研究连接数为随机变量的广义合作网络，即每时间步网络增加一个新节点，然后，按照一定的规则选取T-1(T为随机变量)个旧节点，把这T-1个旧节点和这个新节点中两两之间尚未连接的边都相连而形成的网络。根据点的连接方式将网络分成三类：随机连接网络，择优连接网络，混合连接网络。利用马氏链方法，分别得到三类网络的度分布，其中后两类网络的度分布服从幂律分布，是无标度网络。进一步利用率方程方法，分别研究了网络的度相关性以及聚类系数等指标。
　　 第四章主要研究混合连接演化网络，既体现了节点连线的随机性和择优性，又有节点间连线的删减。而后重点从马氏链的角度讨论了混合演化网络模型的稳态度分布，推导出关于度分布P(κ)的差分方程，精确解出了度分布的表达式。研究这种网络有利于我们未来研究一般的演化网络，进一步研究演化网络更多的重要指标。