基于离散观测的扩散过程参数估计

摘要

扩散过程是描述随机现象的一种强有力的工具，其理论创始于上世纪五十年代，自那以来，一直广受学术界的关注。在许多学者的不懈努力下，相关理论与方法已经得到了长足的发展并在许多领域内取得了成功的应用。但是，基于扩散过程的统计推断问题在很长一段时间内并没有引起足够的重视，相关理论与方法长期停滞不前，这大大限制扩散过程的应用。
　　由于过程本身的特性，基于连续观测对扩散过程进行统计推断并不困难。然而基于离散观测的情形却大不相同。这主要是因为对于一般模型，样本似然函数不存在解析解也不存在简单而精确的逼近，传统上基于似然的统计推断方法在此情景下举步维艰。同时，由于实际应用中人们所能获得的样本无一例外都是离散观测的，研究基于离散观测的扩散过程统计推断问题又显得十分重要而迫切。作为最核心和基本的统计推断问题，参数估计无疑是此情景下人们最关心的问题之一，也是目前相关研究的重点。
　　本文首先系统介绍了前人已有的，比较成功的解决基于离散观测的扩散过程参数估计问题的方法。总结前人的经验，本文提出了解决此问题的两条新思路:其一:将两个观测时点之间的时间区间进行分划，在分点上插入一系列辅助观测，构建一个扩充样本，此扩充样本上的Euler逼近将给出原样本似然函数的良好近似，解基于此近似的最大似然估计问题便可得到原过程参数的估计，这是一个基于不完全样本的参数估计问题，EM算法是自然的选择，算法中的期望由随机模拟给出估计。其二，不求似然函数的近似，而是利用近似Bayes计算方法将其转化为给定参数求过程的一条样本路径的问题，此时便有很多高效的基于时间区间分划的随机微分方程数值解法可资利用，为了提高算法的收敛速度，使用较粗糙分划下的计算结果来指导较精细分划下的计算，最后利用理查森外推法综合不同分划下的计算结果。循着以上两条思路，本文分别给出了基于离散观测的扩散过程参数估计问题的Simulated-EM算法和近似Bayes估计算法。最后，数值模拟证明了以上两种算法的可行性和效力。

目录

声明

摘要

1 前言

2 问题，假设，记号和基本理论

3 常见估计方法

3．1 估计函数

3．1．1 鞅估计函数

3．1．2 简单估计函数

3．2 逼近似然函数

3．2．1 转移密度的解析逼近方法

3．2．2 Kolmogorov向前方程的数值解

3．2．3 基于随机模拟的逼近

3．3 Bayes方法

4 Simulated-EM算法

4．1 EM算法

4．2 扩散过程参数估计中的EM算法

4．3 抽样方法

4．4 估计的相合性

4．5 总结

5 近似Bayes估计

5．1 近似Bayes推断方法

5．2 扩散过程参数的近似Bayes估计

5．3 外推加速

5．4 总结

6 数值实验

6．1 双阱势模型

6．2 CIR模型

6．3 总结

7 总结与展望

参考文献

攻读学位期间主要的研究成果

致谢