含高振荡核Volterra积分方程高效数值算法及其渐近阶分析

摘要

含高振荡核函数的积分方程在电磁散射，量子力学等领域有广泛的应用。其数值解问题是高振荡问题的重要组成部分，也是计算数学的研究热点之一。当核函数表现出剧烈振荡的性质时，传统方法求解这类问题的效率会严重下降。因此，寻找求解这类问题的高效算法是十分必要的。由于积分方程的求解问题在经过离散后会转化为积分的计算以及线性方程组的求解问题，所以高振荡数值积分方法在整个求解过程中起关键作用。基于近年来对高振荡积分数值算法的研究，本文在第二章考虑了计算含高振荡三角核的第二类Volterra积分方程的高效方法，包括基于两点插值的直接Filon方法，高阶Filon方法，基于分段插值的常数配置方法以及线性配置方法。通过分析解函数及其导数的渐近性质，我们给出了直接Filon方法的渐近阶估计。结果表明使用这类方法得到的数值解在核函数的振荡频率增加时，精度也会提高。数值实验验证了这一估计的有效性以及这些方法在求解高振荡Volterra积分方程时的高效性。在第三章，我们将这些方法应用于求解含高振荡三角核的第一类Volterra积分方程。数值实验同样表明当核函数振荡越来越剧烈的时候，除了分段常数配置方法，其他方法的效率也越来越高。本文主要的创新点包括分析了一类高振荡积分方程的解关于振荡频率的渐近性质以及给出了使用直接Filon方法求解这类方程得到的结果的误差阶。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 引言

1．2 高振荡高性能计算常用数值方法

1．2．1 Levin型方法

1．2．2 渐近法

1．2．3 Filon型方法

1．2．4 数值最速下降法

1．3 本章小结

2 含高振荡三角核的第二类Volterra积分方程算法

2．1 引言

2．2 (2-6)解的一致有界性和渐近性质

2．3 计算(2-6)解的有效方法

2．3．1 直接Filon方法

2．3．2 高阶Filon方法

2．3．3 分段常数配置方法

2．3．4 分段线性配置方法

2．4 误差估计

2．5 数值实验

2．5 本章小结

3 含高振荡三角核的第一类Volterra积分方程算法

3．1 含高振荡三角核的第一类Volterra积分方程的计算

3．1．1 直接Filon方法

3．1．2 高阶Filon方法

3．1．3 分段线性配置方法

3．2 数值实验

3．3 本章小结

4 总结与展望

参考文献

致谢