非齐次边界条件分数阶微分方程的有限元法研究

摘要

本文首先综述了分数阶微分方程的研究现状，叙述了分数阶微积分的基本定义、性质和分数阶Sobolev空间，详细阐述了基于变分原理的有限元方法，并介绍了有限元法求解分数阶边值问题的一般步骤，利用MATLAB软件给出了基于双线性基函数的数值算例。然后，针对一类非齐次边界条件下的稳态分数阶对流扩散方程，利用有限元法进行了求解。主要做法是:将非齐次的边界条件齐次化，得到齐次化后方程的变分形式，证明了分数阶导数中积分项范围在0＜β＜1/2和1/2＜β＜1两种情况下变分方程解的存在唯一性，并基于分段线性基函数对所给实例进行了数值求解。最后，分析了左右边界都为非齐次的Riemann-Liouville分数阶微分方程的有限元法，指出采用一般齐次化方法的困难所在，即所得齐次化方程的源项在求解区域上的积分是不收敛的，从而得不到有限元方程的解。针对这种情况，本文给出了一种可行的变分形式，结合数值实例得到了一组结果。并且证明了左边界条件齐次，右边界条件非齐次的情形下齐次化后得到的变分形式是适定的。

目录

声明

摘要

1 分数阶微积分的研究现状

1．1 分数阶微积分的发展

1．2 分数阶微分方程的发展

2 分数阶微积分的基本理论

2．1 分数阶微积分的定义

2．2 分数阶微积分的性质

2．3 分数阶Sobolev空间

3 分数阶边值问题的有限元法

3．1 有限元方法

3．1．1 有限元简介

3．1．2 边值问题的变分形式

3．1．3 Ritz-Galerkin方法

3．2 分数阶边值问题的有限元法求解步骤

3．2．1 分数阶边值问题的变分形式

3．2．3 有限元方程的形成

3．3 基于双线性基函数的数值实例

4 基于有限元法的非齐次边界条件分数阶微分方程求解

4．1 对非齐次边界条件齐次化

4．2 齐次化后方程变分形式的适定性

4．3 形成有限元方程

4．4 基于线性基函数的数值实例

5 基于R-L导数的非齐次边值问题的有限元法研究

5．1 齐次化后方程的变分形式分析

5．2 数值实例

6 总结与展望

参考文献

附录

致谢