高性能小波的提升构造及其在图像处理中的应用研究

摘要

小波分析是80年代中期发展起来的一门新兴数学理论和方法，其理论的重要性及应用的广泛性引起了数学和信号处理学者的高度重视。短支撑、高消失矩、线性相位、高正则性是小波在信号处理中几个至关重要的性质，构造满足这些性质的高性能小波一直都是研究的热点。
　　 传统小波的研究与构造均离不开Fourier变换。理论上已经证明，几乎所有“有用”（具有适当的光滑性）的小波都可以通过Fourier变换构造。然而基于Fourier变换的小波构造方法构造过程复杂，不易推广，为此，Sweldens提出了一种不依赖于Fourier变换的双正交小波构造方法——提升格式（Lifting Scheme），与传统的方法相比，提升格式有固定的小波构造公式，其不仅简单易于理解，具有通用性和灵活性，而且有高效的小波变换实现方式。提升格式迅速吸引了众多学者的密切关注。
　　 本论文研究了提升格式与初始滤波器，以及它与提升生成的新滤波器支撑长度、消失矩、线性相位、正则性等性质的关系，给出了提升格式构造同时满足短支撑、任意阶消失矩、线性相位和高正则性小波滤波器的一般算法框架。此外，本文首次提出并研究了初始小波的选择，多步交替提升和对偶提升中提升策略的选择等问题，分析了上述选择对支撑长度等性质的影响，进而给出了最短提升格式（Shortest Lifting Scheme，SLS）的定义。
　　 本论文的算法框架具有通用性和灵活性，不仅可以构造诸多已有的高性能双正交小波，如双正交样条小波（Biorthogonal Spline Wavelet，BSW）系列和Deslauriers-Dubuc（D-D）双正交滤波器系列，而且可以构造新小波。特别地，两类高性能小波——最短提升格式小波（Shortest Lifting Scheme Wavelet，SLSW）系列和高正则性对称双正交小波（High Regularity Symmetric Biorthogonal Wavelet，HRSBW）系列被首次构造出来。这两类小波不仅具有良好的性质，而且其滤波器系数为二进制分数。
　　 小波性质上的优势最终体现在应用中，将本文所构造的新小波应用在图像压缩和图像去噪上并与DB8、SYM8、CDF9-7等常见高性能小波进行比较。实验结果表明，部分SLSW小波取得了更好的MSE和PSNR值。