最优控制问题三角形混合有限元方法的超收敛

摘要

有效的数值方法是把最优控制问题广泛应用到各个实践领域的关键，在这些数值方法中，虽然也有其他的方法被利用，但是有限元方法是应用最为普遍的一种，其理论分析和算法实现已日趋完善．目前，关于最优控制问题混合有限元逼近的理论分析方面的文章并没有太多．
　　 本文中，由于最优控制问题的目标泛函中含有状态变量的梯度，为了提高其梯度的精度，我们利用三角形混合有限元方法进行离散，即分别对状态变量(标量及向量)和控制变量采取不同的有限元空间进行逼近：对状态变量及其梯度，我们采用的Raviart-Thomas一次混合有限元空间来逼近；对控制变量采用分片常数空间来逼近．首先，利用变分原理得到最优控制问题的最优性条件，即将一个求泛函极小的问题转化为状态方程，伴随状态方程和一个变分不等式三者的联立系统．然后我们定义了控制变量的插值uI，通过利用最优性条件中的变分不等式，将对控制变量的估计转化为对对偶状态量的估计．对控制集中的函数，我们引入了一些与其相关并可作为中间变量的状态函数和伴随状态函数，将有限元误差分成几个部分来进行估计，证明了插值uI与离散解uh之间的估计具有h2的超收敛性质．在后处理过程中，针对控制变量的低正则性，我们引入特殊的后处理算子，由于后处理算子的引入与控制集有关，不同的控制集所要引入的后处理算子是不同的．文中的控制集是Uad={u∈L2(Ω):∫Ωu(x)dx≥0}，因此，我们所引入相应的后处理算子为u★=g(h)=(max(0,ˉzh)-zh)/v．然后用同样的方法得到后处理算子与精确解的估计也具有h2的超收敛的性质．最后，我们将给出两个数值算例来验证所得到的超收敛现象．