一维非平稳Daubechies和高维非平稳小波的构造研究

摘要

小波分析是近30年来新兴的一种信号分析处理技术,在理论研究上具有重大的研究价值,并在众多工程技术上具有较为深远的影响。现在一维小波的理论研究越来越成熟,小波应用越来越广泛,但是众多的小波应用都在高维情形,因此高维小波的构造研究成为多年来小波理论和应用研究的焦点,其中高维小波有两种形式,包括非分离和可分离的。非分离小波构造通常有以下两种方法,1.选取合适的取样矩阵,通过小波定义或性质,构造出特殊形式的高维小波;2.首先通过滤波器组的相位矩阵构造高维滤波器,再构造出相应的高维小波。相比可分离小波,非分离小波设计自由度比较大,避免了人为对坐标轴的优先考虑导致的信号失真。但自然界中大部分信号是基于时间变化的非平稳信号,基于代数多项式的平稳小波并没有考虑信号的光谱特性,在处理非平稳信号时,信号就会越来越弱,信号特征越来越模糊,甚至破坏了信号特征的完整性。近年利用指数样条构造的非平稳小波能适应信号的频率变化,根据信号的光谱特征进行谐调变化,很好的保护了信号特征,更适合人体视觉系统。因此,非平稳小波的构造成为当前小波理论和应用领域研究的热点,不同领域专家学者开始越来越关注非平稳小波构造与应用的研究。
　　Vonesch等利用指数多项式消失矩代替Daubechies小波中的代数消失矩,构造出广义Daubechies小波。本文主要工作是研究一维非平稳Daubechies和高维非平稳正交小波。第2章根据Vonesch的广义Daubechies小波的构造,借鉴了Li和Wu在求解Daubechies小波二尺度符号时增加的奇多项式条件,在非平稳小波求解时同样加入一个奇Laurent多项式,构造出一维非平稳Daubechies小波。由于非平稳多分辨空间不满足尺度伸缩性,第3章根据非平稳小波的性质,借鉴了Belogay和Wang的非分离小波的构造方法,在每层非平稳空间内,采用取样矩阵,规定每层滤波器采用相邻的指数多项式空间且只能是非0的两行,通过消失矩条件和正交性构造出正交且任意光滑的非平稳尺度函数。第4章借鉴了Karoui的迭代构造方法,在每层非平稳空间内,非平稳低维滤波器迭代出高维滤波器,通过选择一类特殊矩阵,构造出高维非平稳的非分离正交尺度滤波器和小波滤波器。第3章与第4章的构造方法不同,第3章采用非分离小波的第1种构造方法,第4章采用了非分离小波的第2种构造方法,在二维情形时第4章不包含第3章的结果。

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引 言

第1章 基础知识

1.1 一维Daubechies小波

1.2 一维广义Daubechies小波

1.3 二维非分离正交小波

第2章 一维非平稳Daubechies小波的构造

2.1 构造过程

2.2 构造实例

第3章 二维非平稳的非分离正交尺度函数的构造

3.1 理论基础

3.2 构造理论

3.3 构造实例

第4章 高维非平稳的非分离正交小波的构造

4.1 理论基础

4.2 构造理论

4.3 构造实例

第5章 总结与展望

参考文献

致谢

附录A 攻读硕士学位期间参与的科研项目